Giúp em với ạ
a. a2+b2+4 ≥ ab + 2(a+b) ∀ a,b
b. \(\dfrac{x^2}{1+x^2}\)≤ \(\dfrac{1}{2}\)
c. (a4+b4) . (a6+b6) ≤ 2(a10 + b10) ∀ a , b
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
25 tháng 5 2021
a)Xét \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-\dfrac{a^2+b^2}{2}=\)\(\dfrac{a^2+2ab+b^2-2\left(a^2+b^2\right)}{4}\)\(=\dfrac{-a^2+2ab-b^2}{4}\)\(=\dfrac{-\left(a-b\right)^2}{4}\le0\forall a;b\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\le\dfrac{a^2+b^2}{2}\) (bạn ghi sai đề?)
Dấu = xảy ra <=> a=b
b) \(\left(a^{10}+b^{10}\right)\left(a^2+b^2\right)-\left(a^8+b^8\right)\left(a^4+b^4\right)\)
\(=a^{12}+a^{10}b^2+a^2b^{10}+b^{12}-\left(a^{12}+a^8b^4+a^4b^8+b^{12}\right)\)
\(=a^2b^2\left(a^8+b^8-a^6b^2-a^2b^6\right)\)
\(=a^2b^2\left(a^2-b^2\right)\left(a^6-b^6\right)=a^2b^2\left(a^2-b^2\right)^2\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\ge0\) với mọi a,b
=> \(\left(a^{10}+b^{10}\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a^8+b^8\right)\left(a^4+b^4\right)\)
Dấu = xảy ra <=>a=b
12 tháng 5 2022
a: \(a^4+b^4\ge2a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4>=0\)
hay \(\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
d: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
7 tháng 10 2021
\(a,=a^8-16\\ b,\left(a+c\right)^2-b^2=a^2+2ac+c^2-b^2\\ c,=\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2\right)\left(a^4+b^4\right)\\ =\left(a^4-b^4\right)\left(a^4+b^4\right)=a^8-b^8\\ d,=\left[\left(3x+y\right)-2\right]^2=\left(3x+y\right)^2-4\left(3x+y\right)+4\\ =9x^2+6xy+y^2-12x-4y+4\\ h,=x^3+64\\ e,=\left(2^4-1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\\ =\left(2^8-1\right)\left(2^8+1\right)=2^{16}-1=...\\ f,=\left(x+y-x+y\right)\left[\left(x+y\right)^2+\left(x+y\right)\left(x-y\right)+\left(x-y\right)^2\right]\\ =2y\left(x^2+2xy+y^2+x^2-y^2+x^2-2xy+y^2\right)\\ =2y\left(3x^2+y^2\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 2 2021
Nếu có 2 số đồng thời bằng 0 BĐT tương đương \(0\le\dfrac{3}{4}\) hiển nhiên đúng
Nếu ko có 2 số nào đồng thời bằng 0:
\(VT=\dfrac{bc}{a^2+b^2+a^2+c^2}+\dfrac{ca}{a^2+b^2+b^2+c^2}+\dfrac{ab}{a^2+c^2+b^2+c^2}\)
\(VT\le\dfrac{bc}{2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+c^2\right)}}+\dfrac{ca}{2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}}+\dfrac{ab}{2\sqrt{\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+c^2\right)}}\)
\(VT\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{b^2}{a^2+b^2}+\dfrac{c^2}{a^2+c^2}+\dfrac{a^2}{a^2+b^2}+\dfrac{c^2}{b^2+c^2}+\dfrac{a^2}{a^2+c^2}+\dfrac{b^2}{b^2+c^2}\right)=\dfrac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
21 tháng 2 2021
\(bc\le\dfrac{\left(b+c\right)^2}{4}\Rightarrow\dfrac{bc}{a^2+1}\le\dfrac{\left(b+c\right)^2}{4\left(a^2+1\right)}\) chứng minh tương tự với mấy cái còn lại ta dc \(\dfrac{bc}{a^2+1}+\dfrac{ac}{b^2+1}+\dfrac{ab}{c^2+1}\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{\left(b+c\right)^2}{a^2+1}+\dfrac{\left(a+c\right)^2}{b^2+1}+\dfrac{\left(a+b\right)^2}{c^2+1}\right]\) .Thay a^2 +b^2 +c^2 =1 vào vế phải ta dc\(VT\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{\left(b+c\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}+\dfrac{\left(a+c\right)^2}{2b^2+c^2+a^2}+\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2c^2+a^2+b^2}\right]\)
áp dụng bunhiacopski dạng phân thức ta dc\(VT\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{b^2}{a^2+b^2}+\dfrac{c^2}{a^2+c^2}+\dfrac{a^2}{b^2+a^2}+\dfrac{c^2}{b^2+c^2}+\dfrac{a^2}{c^2+a^2}+\dfrac{b^2}{c^2+b^2}\right]\) \(VT\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2}+\dfrac{c^2+a^2}{c^2+a^2}+\dfrac{c^2+b^2}{c^2+b^2}\right]\) \(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{4}\left(1+1+1\right)=\dfrac{3}{4}\left(đpcm\right)\)
9 tháng 9 2017
1, C/m : a^3 + b^3 + c^3 ≥ a^2.căn (bc) + b^2.căn (ac) + c^2.căn (ab)
Ta có : 2( a^3 + b^3 + c^3 ) = ( a^3 + b^3 + c^3 ) + ( a^3 + b^3 + c^3 )
≥ 3abc + a^3 + b^3 + c^3 ( BĐT Côsi )
= a^3 + abc + b^3 + abc + c^3 + abc ≥ 2.a^2.căn (bc) + 2.b^2.căn (ac) + 2.c^2.căn (ab) ( BĐT Côsi )
=> a^3 + b^3 + c^3 ≥ a^2.căn (bc) + b^2.căn (ac) + c^2.căn (ab)
Dấu " = " xảy ra khi a = b = c.
2, C/m : (a^2 + b^2 + c^2)(1/(a + b ) + 1/(b + c) +1/(a + c) ) ≥ (3/2)(a + b + c) ( 1 )
Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho phân số ( :D ) ta được :
(a^2 + b^2 + c^2)(1/(a + b ) + 1/(b + c) +1/(a + c) ) ≥ (a^2 + b^2 + c^2).[(1+1+1)^2/(a+b+b+c+a+c)] = (a^2 + b^2 + c^2) . 9/[2.(a+b+c)]
(1) <=> (a^2 + b^2 + c^2) . 9/[2.(a+b+c)] ≥ (3/2)(a + b + c)
<=> 3(a^2 + b^2 + c^2) ≥ (a + b + c)^2
<=> a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca.
BĐT cuối đúng nên => đpcm !
Dấu " = " xảy ra khi a = b = c.
3, C/m : a^4 + b^4 + c^4 ≥ (a + b + c)abc
Ta có : 2( a^4 + b^4 + c^4 ) = (a^4 + b^4 +c^4) + (a^4 + b^4 +c^4)
≥ ( a^2.b^2 + b^2.c^2 + c^2.a^2 ) + (a^4 + b^4 +c^4) = ( a^4 + b^2.c^2 ) + ( b^4 + c^2.a^2 ) + ( c^4 + a^2.b^2 )
≥ 2.a^2.bc + 2.b^2.ca + 2.c^2.ab ( BĐT Côsi )
= 2.abc(a + b + c)
Do đó a^4 + b^4 + c^4 ≥ (a + b + c)abc
Dấu " = " xảy ra khi a = b = c.
