Cho tam giác ABC có các trung tuyến AM,BN,CP.Chứng minh với mọi điểm O trong mặt phẳng,trong ba số \(S_{AOM}\),\(S_{OBN}\),\(S_{OCP}\)luôn có một mặt phẳng bằng tổng 2 số còn lại
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
UI
16 tháng 12 2019
Bai 1
Bo de : \(\Delta ABC\) trung tuyen AD
\(\Rightarrow S_{ADB}=S_{ADC}\)
cai nay ban tu chung minh nha
Ap dung bo de va bai nay => \(S_{MNPQ}=S_{MQP}+S_{MNP}=\frac{1}{3}S_{MDC}+\frac{1}{3}S_{ABP}\)
ta phai chung minh \(S_{MDC}+S_{ABP}=S_{ABCD}\)
That vay co \(S_{AMP}=S_{AMD},S_{MBP}=S_{MBC}\)
=> \(S_{ABP}+S_{MDC}=S_{ADM}+S_{MDC}+S_{MBC}=S_{ABCD}\)
=> dpcm
13 tháng 4 2023
Xét ΔABC có AD là phân giác
nên BD/CD=AB/AC=3/2
=>BD=3/5BC
=>BD/BM=3/5:1/2=6/5
=>\(S_{ABD}=\dfrac{6}{5}\cdot S_{ABM}\)
=>\(S_{AMD}=\dfrac{1}{5}\cdot S_{ABM}=\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot S_{ABC}=\dfrac{1}{10}\cdot S_{ABC}\)
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
19 tháng 9 2023
a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(GM = \dfrac{1}{3}AM\)
Kẻ \(BP \bot AM\) ta có
\(\begin{array}{l}{S_{GMP}} = \dfrac{1}{2}BP.GM\\{S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}BP.AM\end{array}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{GMP}}}}{{{S_{ABM}}}} = \dfrac{{GM}}{{AM}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {S_{GMP}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABM}}\)(1)
Tương tự, kẻ \(CN \bot AM\), ta có
\(\begin{array}{l}{S_{GMC}} = \dfrac{1}{2}CN.GM\\{S_{ACM}} = \dfrac{1}{2}CN.AM\\ \Rightarrow \dfrac{{{S_{GMC}}}}{{{S_{ACM}}}} = \dfrac{{GM}}{{AM}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {S_{GMC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ACM}}\left( 2 \right)\end{array}\)
Cộng 2 vế của (1) và (2) ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{GMB}} + {S_{GMC}} = \dfrac{1}{3}\left( {{S_{AMC}} + {S_{ABM}}} \right)\\ \Rightarrow {S_{GBC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\end{array}\)
b)
Ta có
\(\begin{array}{l}{S_{GAB}} = \dfrac{1}{2}BP.AG\\{S_{GAC}} = \dfrac{1}{2}CN.AG\end{array}\)
Xét \(\Delta BPM\) và \(\Delta CNM\) có:
\(\widehat {BPM} = \widehat {CNM} = {90^0}\)
BM = CM ( M là trung điểm của BC)
\(\widehat {PMB} = \widehat {CMN}\)(2 góc đối đỉnh)
\( \Rightarrow \Delta BPM = \Delta CNM\)(cạnh huyền – góc nhọn)
\( \Rightarrow \) BP = CN (cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow {S_{GAB}} = {S_{GAC}}\)
Ta có: \(AG = \dfrac{2}{3}AM\)
\(\begin{array}{l}{S_{ACB}} = {S_{GAB}} + {S_{GAC}} + {S_{GCB}}\\ \Rightarrow {S_{ACB}} = {S_{GAB}} + {S_{GAC}} + \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\\ \Rightarrow \dfrac{2}{3}{S_{ABC}} = 2{S_{GAC}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{3}{S_{ABC}} = {S_{GAC}} = {S_{GAB}}\end{array}\)
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
8 tháng 5 2017
a. Ta thấy \(\widehat{DAB}=\widehat{MAC}\) (Cùng phụ với góc \(\widehat{BAM}\)); \(\widehat{DBA}=\widehat{MCA}\)(Cùng phụ với góc \(\widehat{ABM}\))
Vậy nên \(\Delta CAM\sim\Delta BAD\left(g-g\right)\)
b. Do \(\Delta CAM\sim\Delta BAD\left(cma\right)\Rightarrow\frac{AM}{AD}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{AD}{AB}\)
Mà \(\widehat{DAM}=\widehat{BAC}=90^o\Rightarrow\Delta ADM\sim\Delta ABC\left(c-g-c\right)\)
c. Ta thấy \(\widehat{ABM}=\widehat{ACE}\) (Cùng phụ với góc \(\widehat{ACM}\)); \(\widehat{BAM}=\widehat{CAE}\)(Cùng phụ với góc \(\widehat{MAC}\))
Vậy nên \(\Delta BAM\sim\Delta CAE\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AE}{AM}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow\frac{AE}{AC}=\frac{AM}{AB}\)
Từ câu b: \(\frac{AD}{AB}=\frac{AM}{AC}\)và ta vừa cm \(\frac{AE}{AC}=\frac{AM}{AB}\Rightarrow\frac{AD.AE}{AB.AC}=\frac{AM^2}{AC.AB}\Rightarrow AD.AE=AM^2\)
d. Do \(AD.AE=AM^2;\widehat{DAM}=\widehat{MAE}=90^o\Rightarrow\Delta DAM\sim\Delta MAE\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{DMA}=\widehat{MEA}\Rightarrow\widehat{DME}=90^o\). Lại có \(\widehat{EDM}=\widehat{ABC}\Rightarrow\Delta ABC\sim\Delta MDE\left(g-g\right)\)
Để \(\frac{S_{ABC}}{S_{MDE}}=\frac{1}{4}\Rightarrow\) tỉ số đồng dạng \(k=\frac{1}{2}.\)
Gọi AH là đường cao của tam giác ABC, khi đó AM = 2AH \(\Rightarrow\widehat{AMB}=30^o.\)
Vậy M là một điểm thuộc AB sao cho \(\widehat{AMB}=30^o.\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 3 2019
Lời giải:
Ta biết trong 1 tam giác, 3 đường trung tuyến đồng quy tại một điểm. Do đó trung tuyến $CP$ cắt $MP,BN$ tại $Q$ tại $G$ hay $P,G,C$ thẳng hàng.
Có: \(\frac{BP}{PA}=\frac{MB}{MC}(=1)\) nên theo định lý Ta-let đảo thì \(PM\parallel AC\)
hay \(\Rightarrow QM\parallel NC; PQ\parallel AN\)
Áp dụng hệ quả của định lý Ta-let:
\(\triangle BNC; QM\parallel NC\Rightarrow \frac{QM}{NC}=\frac{BQ}{BN}\)
\(\triangle ABN; PQ\parallel AN\Rightarrow \frac{PQ}{AN}=\frac{BQ}{BN}\)
\(\Rightarrow \frac{QM}{NC}=\frac{PQ}{AN}\). Mà \(AN=NC\Rightarrow QM=QP\)
\(\Rightarrow QM=\frac{1}{2}PM\)
Do đó: \(\frac{S_{GMQ}}{S_{GPM}}=\frac{QM}{PM}=\frac{1}{2}(1)\)
\(\frac{S_{GPM}}{S_{MPC}}=\frac{PG}{PC}=\frac{1}{3}(2)\) (theo tính chất trung tuyến và trọng tâm)
\(\frac{S_{MPC}}{S_{CPB}}=\frac{MC}{BC}=\frac{1}{2}(3)\)
\(\frac{S_{CPB}}{S_{CAB}}=\frac{PB}{AB}=\frac{1}{2}(4)\)
Từ \((1);(2);(3);(4)\Rightarrow \frac{S_{GPM}}{S_{CAB}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{24}\)
\(\Rightarrow S_{ABC}=24S_{GMQ}=24.10=240(cm^2)\)
