Question

[nuyễn lê giahuy]

Bài 4: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của điểm A qua D.

a)      Chứng minh rằng ∆ACE vuông cân.

b)     Từ A hạ AH BE; gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AH và HE. Chứng minh tứ giác BMNC là hình bình hành.

c)      Chứng minh M là trực tâm của tam giác ANB.

d)     Chứng minh ANC=90

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

a/

Xét tg vuông BAC có 

BA=BC => tg BAC cân tại B => \(\widehat{BAC}=\widehat{BCA}=45^o\)

Xét tg vuông BEC có 

BE=BA=BC => tg BEC cân tại B => \(\widehat{BEC}=\widehat{BCE}=45^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{BEC}=45^o\)

Xét tg vuông BAC và tg vuông BEC có

BC chung; BA=BE => \(\Delta BAC=\Delta BEC\) (Hai tg vuông có 2 cạnh góc vuông bằng nhau) 

\(\Rightarrow CA=CE\Rightarrow\Delta ACE\) cân tại C (1)

Xét \(\Delta ACE\)

\(\widehat{ACE}=180^o-\left(\widehat{BAC}+\widehat{BEC}\right)=180^o-\left(45^o+45^o\right)=90^o\) (2)

Từ (1) và (2) => TG ACE vuông cân tại C

b/

Xét tg vuông AHE có

MA=MH; NE=NH => MN là đường trung bình của tg AHE

=> MN//AB; \(MN=\frac{AE}{2}=AD=BC\)  => MN//BC; \(MN=BC\)

=> BMNC là hình bình hành (Tứ giác có cặp cạnh đối // và bằng nhau là hbh)

c/

Ta có

\(AH\perp BN\) (1)

MN//BC; \(BC\perp AB\Rightarrow MN\perp AB\)  (2)

Từ (1) và (2) => M là giao của các đường cao trong \(\Delta ANB\) => M là trực tâm của \(\Delta ANB\)

d/

Ta có M là trực tâm \(\Delta ANB\Rightarrow BM\perp AN\)

Mà BM//CN (cạnh đối hbh)

\(\Rightarrow CN\perp AN\Rightarrow\widehat{ANC}=90^o\)