Question

[Pham Trong Bach]

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f − x + 2 f x = cos x . Tính tích phân  I = ∫ − π 2 π 2 f x d x

A. I = 4 3

B. I = 1 3

C. I = 2 3

D. I = 1

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án C

Cách 1: Thay x bởi -x ta được f x + 2 f − x = cos − x = cos x . Kết hợp với giả thiết ta có

f − x + 2 f x = f x + 2 f − x ⇔ f x = f − x

Suy ra  f x = 1 3 cos x . Vậy I = ∫ − π 2 π 2 f x d x = 1 3 ∫ − π 2 π 2 cos x d x = 2 3 .

Cách 2: Từ giả thiết ta có  ∫ − π 2 π 2 f − x + 2 f x d x = ∫ − π 2 π 2 cos x d x

⇔ ∫ − π 2 π 2 f − x d x + 2 ∫ − π 2 π 2 f x d x = 2 ⇔ ∫ − π 2 π 2 f t d t + 2 ∫ − π 2 π 2 f x d x = 2 ⇔ ∫ − π 2 π 2 f x d x = 2 3 .