Tìm mối liên hệ giữa a, b, c để phương trình b 2 + c 2 x 2 - 2 a c x + a 2 - b 2 = 0 có nghiệm.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Tìm mối liên hệ giữa a, b, c, để phương trình \(\left(b^2+c^2\right)x^2-2acx+a^2-b^2=0\) có nghiệm ?
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Phương trình (b2+c2)x2−2acx+a2−b2=0(b2+c2)x2−2acx+a2−b2=0 có nghiệm khi và chỉ khi b2+c2≠0b2+c2≠0 và Δ′≥0Δ′≥0
b2+c2≠0b2+c2≠0 suy ra b và c không đồng thời bằng 0.
Δ′=(−ac)2−(b2+c2)(a2−b2)=a2c2−a2b2+b4−a2c2+b2c2=−a2b2+b4+c2b2=b2(−a2+b2+c2)Δ′≥0⇒b2(−a2+b2+c2)≥0Δ′=(−ac)2−(b2+c2)(a2−b2)=a2c2−a2b2+b4−a2c2+b2c2=−a2b2+b4+c2b2=b2(−a2+b2+c2)Δ′≥0⇒b2(−a2+b2+c2)≥0)
Vì b2≥0⇒−a2+b2+c2≥0⇔b2+c2≥a2b2≥0⇒−a2+b2+c2≥0⇔b2+c2≥a2
Vậy với a2≤b2+c2a2≤b2+c2 thì phương trình đã cho có nghiệm.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
b, \(\Delta'=b'^2-ac=\left[-\left(m-1\right)\right]^2-1.\left(-m-3\right)=m^2-2m+1+m+3\)
\(=m^2-m+4=m^2-m+\frac{1}{4}+\frac{15}{4}=\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{15}{4}>0\)
Vậy pt (1) có 2 nghiệm x1,x2 với mọi m
Theo hệ thức vi-et ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\left(2\right)\\x_1x_2=-m-3\left(3\right)\end{cases}}\)
Ta có: \(x_1^2+x_2^2=10\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=10\)
<=>\(4\left(m-1\right)^2-2\left(-m-3\right)=10\)
<=>\(4m^2-8m+4+2m+6=10\)
<=>\(4m^2-6m+10=10\Leftrightarrow2m\left(2m-3\right)=0\)
<=>\(\orbr{\begin{cases}m=0\\m=\frac{3}{2}\end{cases}}\)
c, Từ (2) => \(m=\frac{x_1+x_2+2}{2}\)
Thay m vào (3) ta có: \(x_1x_2=\frac{-x_1-x_2-2}{2}-3=\frac{-x_1-x_2-8}{2}\)
<=>\(2x_1x_2+x_1+x_2=-8\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
lo hbfbekef evef
frgrgthtgr
t
gr
grgrgrgfrgrf
r
g
rg
r
g
r
gr
f
r
r
br
g
r
gr
gr
grg
r
g
eh
h
h
t
tt
t
t
thr
htr
htht
rh
ththt
ht
ht
h
h
ht
ht
ht
h
frorgew
rnngerjn griigrnbkrtgnngnrrkvggmbemfeegnv4f
v
r
re
eb
tg
bet
eb
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) PT có 2 nghiệm dương
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\Delta'>0\\P>0\\S>0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(m+3\right)^2-\left(4m-1\right)\ge0\\4m-1>0\\2\left(m+3\right)>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m^2+2m+10\ge0\\m>\frac{1}{4}\\m>-3\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow m>\frac{1}{4}\)
b) vì \(\Delta'>0\)nên PT đã cho luôn có hai nghiệm x1,x2 với mọi m.
Áp dụng hệ thức Vi-et,ta có :
\(\hept{\begin{cases}S=2\left(m+3\right)\\P=4m-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2S=4m+12\\P=4m-1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow2S-P=13\Leftrightarrow2\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2=13\)
Hoặc b ≠ 0 hoặc c ≠ 0 phương trình có :