Tính tổng: \(S=n\left(C^0_{n-1}+C^1_{n-1}+C^2_{n-1}+...+C^{n-1}_{n-1}\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PD
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 9 2020
Xét khai triển: \(\left(x+1\right)^{2n}=C_{2n}^0+C_{2n}^1x+C_{2n}^2x^2+...+C_{2n}^{2n}x^{2n}\)
Thay \(x=1\) ta được:
\(2^{2n}=C_{2n}^0+C_{2n}^1+...+C_{2n}^{2n}\)
\(\Leftrightarrow4^n=C_{2n}^0+C_{2n}^1+...+C_{2n}^{2n}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 4 2022
Xét khai triển:
\(\left(1+x\right)^n=C_n^0+xC_n^1+x^2C_n^2+...+x^nC_n^n\)
Đạo hàm 2 vế:
\(n\left(1+x\right)^{n-1}=C_n^1+2xC_n^2+...+nx^{n-1}C_n^n\)
Tiếp tục đạo hàm 2 vế:
\(\left(n-1\right)n\left(1+x\right)^{n-2}=2C_n^2+2.3xC_n^3+...+\left(n-1\right)nx^{n-2}C_n^n\)
Thay \(x=1\)
\(\Rightarrow\left(n-1\right)n.2^{n-2}=1.2C_n^2+2.3C_n^3+...+\left(n-1\right)nC_n^n\)
\(\Rightarrow\left(n-1\right)n.2^{n-2}+n=C_n^1+1.2C_n^2+...+\left(n-1\right)n.C_n^n\)
\(\Rightarrow S=\left(n-1\right)n.2^{n-2}+n\)
20 tháng 7 2018
1/(n + 1) + 1/(n + 2) + ... + 1/(2n - 2) + 1/(2n - 1) + 1/(2n) > 13/24 (n ∈ N*)
Với n = 1, ta có : 1/2 + 1/3 + ... + 1/2 > 13/24 (đúng)
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k
Nghĩa là : 1/(k + 1) + 1/(k + 2) + ... + 1/(2k - 2) + 1/(2k - 1) + 1/(2k) > 13/24 (1)
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1
Nghĩa là : 1/(k + 2) +1/(k + 3) + ... + 1/(2k) + 1/(2k + 1) + 1/(2k + 2) > 13/24 (2)
<=> [1/(k + 1) + 1/(k + 2) + 1/(k + 3) + ... + 1/(2k)] + 1/(2k + 1) + 1/(2k + 2) - 1/(k + 1) > 13/24
Ta chứng minh : 1/(2k + 1) + 1/(2k + 2) - 1/(k + 1) > 0 (3)
<=> [2(k + 1) + (2k + 1) - 2(2k + 1)] / [2(2k + 1)(k + 1)] > 0
<=>1 / [2(2k + 1)(k + 1)] > 0 (4)
Vì k ∈ N* => [2(2k + 1)(k + 1)] > 0 => (4) đúng => (3) đúng
Cộng (1) và (3) được :
1/(k + 2) +1/(k + 3) + ... + 1/(2k) + 1/(2k + 1) + 1/(2k + 2) > 13/24
=> (2) đúng
Theo quy nạp => Điều cần chứng minh là đúng => đpcm
20 tháng 7 2018
Làm cách thông dụng nhất là quy đồng .
Khai triển VT ta có :
\(1+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2}\)
\(=\dfrac{n^2\left(n+1\right)^2+\left(n+1\right)^2+n^2}{n^2\left(n+1\right)^2}\)
\(=\dfrac{n^4+2n^3+n^2+n^2+2n+1+n^2}{n^2\left(n+1\right)^2}\)
\(=\dfrac{n^4+2n^3+3n^2+2n+1}{n^2\left(n+1\right)^2}\)
\(=\dfrac{\left(n^2+n+1\right)^2}{n^2\left(n+1\right)^2}\)
Vậy đẳng thức đã được chứng minh :3
JE
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 12 2020
Xét khai triển:
\(\left(1+x\right)^n=C_n^0+C_n^1x+...+C_n^nx^n\)
Cho \(x=1\) ta được:
\(C_n^0+C_n^1+...+C_n^n=2^n\)
Bài này chỉ cần thay \(n=15\)
\(C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+...+C_{n-1}^{n-1}=2^{n-1}\)
\(\Rightarrow S=n.2^{n-1}\)