Bài 1 : Cho 3(x-y) = 7(y-z) = 5(z-x)
Chứng minh : \(\frac{y-x}{9}=\frac{3-y}{14}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
1 tháng 4 2018
=> x-y /35 = y-z/15 = z-x /21
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x-y /35 = y-z/15 = z-x /21 = x-y + y-z + z-x / 35+15+21 = 0
=>x-y =0
y-z =0
z-x =0
=>x=y=z
thay vào đẳng thức cầm c/m ta có 2 vế đều = 0 vì y-x=0 và z-y=0 (do x=y=z)
MK
1
14 tháng 10 2019
Có:
\(3\left(x-y\right)=7\left(y-z\right)=5\left(z-x\right)\)
=> \(\frac{3\left(x-y\right)}{3.7.5}=\frac{7\left(y-z\right)}{3.7.5}=\frac{5\left(z-x\right)}{3.7.5}\)
=> \(\frac{x-y}{35}=\frac{y-z}{15}=\frac{z-x}{21}\)
Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x-y}{35}=\frac{y-z}{15}=\frac{z-x}{21}=\frac{x-y+y-z+z-x}{35+15+21}=\frac{0}{71}=0\)
=> \(x=y=z\)
Suy ra: \(\frac{y-x}{9}=0=\frac{z-y}{14}\)
HF
29 tháng 7 2020
1/
\(P=\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{2}{xy+yz+xz}+\frac{1}{xy+yx+xz}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\)\
\(\ge\frac{2}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}+\frac{\left(2\sqrt{2}\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=14\)
Ta thấy dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y=z=\frac{1}{3}\\\frac{1}{xy+yz+xz}=\frac{\sqrt{2}}{x^2+y^2+z^2}\end{cases}}\)
Hai điều kiện không thể đồng thời xảy ra nên không tồn tại dấu bằng. Vậy P > 14
29 tháng 7 2020
1) vì x,y,z là các số bất kì, ta có bđt luôn đúng: (x+y+z)2 \(\ge\)3(xy+yz+zx)
vì x+y+z=1 nên suy ra \(\frac{1}{xy+yz+zx}\ge3\)
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
ta có \(\frac{1}{3\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{1}{x^2+y^2+z^2}\ge\frac{4}{\left(x+y+z\right)^3}=4\)
\(\Rightarrow\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{2}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\)\(\ge2\cdot3+2\cdot4=14\)
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x=y=z=\frac{1}{3}\\2\left(xy+yz+zx\right)=x^2+y^2+z^2\end{cases}}\)
hệ này vô nghiệm nên bât không trở thành đẳng thức
vậy bất đẳng thức được chứng minh
2) ta có \(\frac{x^3}{y^3+8}+\frac{y+2}{27}+\frac{y^2-2y+4}{27}\ge\frac{x}{3}\Rightarrow\frac{x^3}{y^3+8}\ge\frac{9x+y-y^2-6}{27}\)
tương tự ta có: \(\frac{y^3}{z^3+8}\ge\frac{9y+z-z^2-6}{27},\frac{z^3}{x^3+8}\ge\frac{9z+x-x^2-6}{27}\)nên
\(VT\ge\frac{10\left(x+y+z\right)-\left(x^2+y^2+z^2\right)-18}{27}=\frac{12-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{27}\)mà ta lại có
\(\frac{12-\left(x^2+y^2+z^2\right)27}{27}=\frac{3+\left(x+y+z\right)^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{27}=\frac{1}{9}+\frac{2}{27}\left(xy+yz+zx\right)\)
từ đó ta có điều phải chứng minh, đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1
CQ
24 tháng 3 2019
1
- fddfssdfdsfdssssssssssssssffffffffffffffffffsssssssssssssssssssfsssssssssssssssssssssssfffffffffffffff
B
24 tháng 3 2019
Ez lắm =)
Bài 1:
Với mọi gt \(x,y\in Q\) ta luôn có:
\(x\le\left|x\right|\) và \(-x\le\left|x\right|\)
\(y\le\left|y\right|\) và \(-y\le\left|y\right|\Rightarrow x+y\le\left|x\right|+\left|y\right|\) và \(-x-y\le\left|x\right|+\left|y\right|\)
Hay: \(x+y\ge-\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\)
Do đó: \(-\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\le x+y\le\left|x\right|+\left|y\right|\)
Vậy: \(\left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(xy\ge0\)
P
1
14 tháng 10 2019
Câu hỏi của Mạnh Khuất - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
NN
Nguyễn Ngọc Anh Minh
CTVHS
VIP
20 tháng 7 2023
Bài 2:
\(\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+a}{c-a}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+b}{c+a}=\dfrac{a-b}{c-a}=\dfrac{a+b+a-b}{c+a+c-a}=\dfrac{a}{c}\) (T/c dãy tỷ số = nhau)
\(\Rightarrow\dfrac{a+b}{c+a}=\dfrac{a}{c}\Rightarrow c\left(a+b\right)=a\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow ac+bc=ac+a^2\Rightarrow a^2=bc\)
13 tháng 8 2017
3) Đặt b+c=x;c+a=y;a+b=z.
=>a=(y+z-x)/2 ; b=(x+z-y)/2 ; c=(x+y-z)/2
BĐT cần CM <=> \(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\ge\frac{3}{2}\)
VT=\(\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}-1+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}-1+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-1\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)-3\right]\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)(Cauchy)
Dấu''='' tự giải ra nhá
13 tháng 8 2017
Bài 4
dễ chứng minh \(\left(a+b\right)^2\ge4ab;\left(b+c\right)^2\ge4bc;\left(a+c\right)^2\ge4ac\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(a+c\right)^2\ge64a^2b^2c^2\)
rồi khai căn ra \(\Rightarrow\)dpcm.
đấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
PT
5
NN
25 tháng 2 2016
\(x+y+z=\frac{x}{y+z-2}=\frac{y}{z+x-3}=\frac{z}{x+y+5}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(x+y+z=\frac{x}{y+z-2}=\frac{y}{z+x-3}=\frac{z}{x+y+5}=\frac{x+y+z}{\left(y+z-2\right)+\left(z+x-3\right)+\left(x+y+5\right)}=\frac{x+y+z}{2.\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{2}\)
=> 2x = y + z - 2
=> 2x + x = x + y + z -2
3x = \(\frac{1}{2}\) - 2
3x = -\(-1\frac{1}{2}\)
x = \(-\frac{1}{2}\)
2y = z + x - 3
=> 2y + y = x + y + z - 3
3y = \(\frac{1}{2}\) - 3
3y = \(-2\frac{1}{2}\)
y = \(-\frac{5}{6}\)
Thay x = \(-\frac{1}{2}\) và y = \(-\frac{5}{6}\) vào x + y + z = \(\frac{1}{2}\) ta được:
\(-\frac{1}{2}-\frac{5}{6}+z=\frac{1}{2}\)
\(z=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{5}{6}\)
\(z=1\frac{5}{6}\)
Vậy ...
25 tháng 2 2016
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{x}{y+z-2}=\frac{y}{z+x-3}=\frac{z}{x+y+5}=\frac{x+y+z}{2\left(x+y+z\right)-\left(2+3-5\right)}=\frac{x+y+z}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x+y+z=\frac{1}{2}\)
\(\cdot\frac{x}{y+z-2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow2x=y+z-2\)
\(3x=\left(x+y+z\right)-2=\frac{1}{2}-2=-\frac{1}{2}\)
\(x=-\frac{1}{2}:3=-\frac{1}{6}\)
\(\cdot\frac{y}{z+x-3}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow2y=x+z-3\)
\(3y=\left(x+y+z\right)-3=\frac{1}{2}-3=-\frac{5}{6}\)
\(y=-\frac{5}{6}:3=-\frac{5}{18}\)
Ta có:
\(x+y+z=\frac{1}{2}\)
\(\left(-\frac{1}{6}\right)+\left(-\frac{5}{18}\right)+z=\frac{1}{2}\)
\(z-\frac{8}{18}=\frac{9}{18}\)
\(\Rightarrow z=\frac{17}{18}\)
Chứng minh: \(\frac{y-x}{9}=\frac{z-y}{14}\)
Ta có: \(3\left(x-y\right)=7\left(y-z\right)=5\left(z-x\right)\)
<=> \(\frac{x-y}{\frac{1}{3}}=\frac{y-z}{\frac{1}{7}}=\frac{z-x}{\frac{1}{5}}\)
Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{x-y}{\frac{1}{3}}=\frac{y-z}{\frac{1}{7}}=\frac{z-x}{\frac{1}{5}}=\frac{x-y+y-z+z-x}{\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{5}}=0\)
<=> x = y = z
Khi đó: \(\frac{y-x}{9}=0;\frac{z-y}{14}=0\)
Vậy \(\frac{y-x}{9}=\frac{z-y}{14}\)