Cho a,b,c,d>0 bt \(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\)<=1 CMR\(abcd\le\frac{1}{81}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 3 2019
a/ Biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh
b/ \(VT=\frac{a-d}{b+d}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{a+c}+1+\frac{c-a}{a+d}+1-4\)
\(VT=\frac{a+b}{b+d}+\frac{c+d}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+d}{a+d}-4\)
\(VT=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b\right).\frac{4}{b+d+a+c}+\left(c+d\right).\frac{4}{b+c+a+d}-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{4}{\left(a+b+c+d\right)}\left(a+b+c+d\right)-4=4-4=0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)
20 tháng 3 2020
$\dfrac{a+b+c-d}{d}=\dfrac{b+c+d-a}{a}=\dfrac{c+d+a-b}{b}=\dfrac{d+a+b-c}{c}$
Cộng 2 vào mỗi đẳng thức ta có:\(\begin{align} & 2+\dfrac{a+b+c-d}{d}=\dfrac{b+c+d-a}{a}+2=\dfrac{c+d+a-b}{b}+2=\dfrac{d+a+b-c}{c}+2 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{a+b+c+d}{d}=\dfrac{a+b+c+d}{a}=\dfrac{a+b+c+d}{b}=\dfrac{a+b+c+d}{c}\Rightarrow a=b=c=d \\ \end{align}\)
Thay vào P ta được: $P=\left( 1+2 \right)\left( 1+2 \right)\left( 1+2 \right)\left( 1+2 \right)={{3}^{4}}=81$
6 tháng 7 2021
1, \(\dfrac{a}{b+c+d}=\dfrac{b}{a+c+d}=\dfrac{c}{a+b+d}=\dfrac{d}{a+b+c}=\dfrac{a+b+c+d}{3\left(a+b+c+d\right)}=\dfrac{1}{3}\)
Do đó \(\left\{{}\begin{matrix}3a=b+c+d\left(1\right)\\3b=a+c+d\left(2\right)\\3c=a+b+d\left(3\right)\\3d=a+b+c\left(4\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow3\left(a+b\right)=a+b+2c+2d\Leftrightarrow2\left(a+b\right)=2\left(c+d\right)\Leftrightarrow a+b=c+d\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{c+d}=1\)
Tương tự cũng có: \(\dfrac{b+c}{a+d}=1;\dfrac{c+d}{a+b}=1;\dfrac{d+a}{b+c}=1\)
\(\Rightarrow A=4\)
2, Có \(\dfrac{x^3}{8}=\dfrac{y^3}{64}=\dfrac{z^3}{216}\Leftrightarrow\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{6}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{z^2}{36}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{4+16+36}=\dfrac{14}{56}=\dfrac{1}{4}\)
Do đó \(\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{1}{4};\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{1}{4};\dfrac{z^2}{36}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=1\\y^2=4\\z^2=9\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm1\\y=\pm2\\z=\pm3\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;3\right),\left(-1;-2;-3\right)\)
6 tháng 7 2021
Bài 2 :
a, Ta có : \(\dfrac{x^3}{8}=\dfrac{y^3}{64}=\dfrac{z^3}{216}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{6}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{z^2}{36}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{4+16+36}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=1\\y^2=4\\z^2=9\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm1\\y=\pm2\\z=\pm3\end{matrix}\right.\)
Vậy ...
b, Ta có : \(\dfrac{2x+1}{5}=\dfrac{3y-2}{7}=\dfrac{2x+3y-1}{5+7}=\dfrac{2x+3y-1}{6x}\)
\(\Rightarrow6x=12\)
\(\Rightarrow x=2\)
\(\Rightarrow y=3\)
Vậy ...
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 2 2020
Từ \(\frac{a}{b}< 1\Rightarrow a< b\)
\(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\Leftrightarrow a\left(b+c\right)< b\left(a+c\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+ac< ab+bc\Leftrightarrow ac< bc\Leftrightarrow a< b\) (đúng với giả thiết)
a/ Ta có: \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\) ; \(\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\); \(\frac{c}{c+a}< \frac{b+c}{a+b+c}\)
Cộng vế với vế:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c+a+b+b+c}{a+b+c}=2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 2 2020
b/ \(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\) ; \(\frac{b}{b+c+d}>\frac{b}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c}{c+d+a}>\frac{c}{a+b+c+d}\) ; \(\frac{d}{d+a+b}>\frac{d}{a+b+c+d}\)
Cộng vế với vế:
\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)
Mặt khác:
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\) ; \(\frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{b+c+d+a}\) ...
Bạn tự làm nốt
c/ Hoàn toàn tương tự:
\(\frac{a+b}{a+b+c}>\frac{a+b}{a+b+c+d}\) làm tương tự 3 cái còn lại
Cộng lại sẽ ra BĐT bên trái
Sau đó \(\frac{a+b}{a+b+c}< \frac{a+b+d}{a+b+c+d}\) làm tương tự với 3 cái còn lại rồi cộng lại ra BĐT bên phải
XO
25 tháng 4 2021
Ta có S + 4 = \(\left(\frac{a}{b+c+d}+1\right)+\left(\frac{b}{c+d+a}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b+d}+1\right)+\left(\frac{d}{a+b+c}+1\right)\)
\(=\frac{a+b+c+d}{b+c+d}+\frac{a+b+c+d}{a+c+d}+\frac{a+b+c+d}{a+b+d}+\frac{a+b+c+d}{b+c+d}\)
\(=\left(a+b+c+d\right)\left(\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{a+c+d}+\frac{1}{a+b+d}+\frac{1}{a+b+c}\right)\)
\(=4000.\frac{1}{40}=100\)(a + b + c + d = 4000 ; \(\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{a+c+d}+\frac{1}{a+b+d}+\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{40}\))
=> S = 100 - 4 = 96
10 tháng 2 2018
a, Có : (a-b)^2 >= 0
<=> a^2+b^2-2ab >= 0
<=> a^2+b^2 >= 2ab
<=> a^2+b^2+2ab >= 4ab
<=> (a+b)^2 >= 4ab
Vì a,b > 0 nên ta chia 2 vế bđt cho (a+b).ab ta được :
a+b/ab >= 4/a+b
<=> 1/a+1/b >= 4/a+b
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b>0
Tk mk nha
Từ giả thiết => \(\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\le1-\frac{a}{a+1}=\frac{1}{a+1}\)
Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương : \(\frac{1}{a+1}\ge\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\ge3.\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\). Tương tự: \(\frac{1}{b+1}\ge3.\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\)
\(\frac{1}{c+1}\ge3.\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(d+1\right)}}\)
\(\frac{1}{d+1}\ge3.\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Nhân từ 4 bđt: \(1\ge81abcd\Rightarrow abcd\le\frac{1}{81}\)