Question

[Lê Thiên Anh]

22 giờ trước (20:46)

Xét tính đơn điệu, cực trị, giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số:

y=3-3sinx +2cos2x

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Hàm tuần hoàn chu kì \(T=2\pi\) nên ta chỉ cần khảo sát trên đoạn \(\left[0;2\pi\right]\)

\(y'=-3cosx-4sin2x=0\Leftrightarrow-cosx\left(3+8sinx\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+k\pi\\x=arcsin\left(-\frac{3}{8}\right)+k2\pi\\x=\pi-arcsin\left(-\frac{3}{8}\right)+k2\pi\end{matrix}\right.\)

Để ngắn gọn thì đặt \(b=2\pi+arcsin\left(-\frac{3}{8}\right)\) ; \(a=\pi-arcsin\left(-\frac{3}{8}\right)\)

BBT:

Hàm đạt cực tiểu tại \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)

Hàm đạt cực đại tại \(\left[{}\begin{matrix}x=arcsin\left(-\frac{3}{8}\right)+k2\pi\\x=\pi-arcsin\left(-\frac{3}{8}\right)+k2\pi\end{matrix}\right.\)

Hàm đồng biến trên các khoảng \(\left(\frac{\pi}{2}+k2\pi;\pi-arcsin\left(-\frac{3}{8}\right)+k2\pi\right)\) và \(\left(\frac{3\pi}{2}+k2\pi;arcsin\left(-\frac{3}{8}\right)+k2\pi\right)\)

Hàm nghịch biến trên các khoảng \(\left(\pi-arcsin\left(-\frac{3}{8}\right)+k2\pi;\frac{3\pi}{2}+k2\pi\right)\) và \(\left(arcsin\left(-\frac{3}{8}\right)+k2\pi;\frac{5\pi}{2}+k2\pi\right)\)

\(y_{max}=\frac{89}{16}\) khi \(sinx=-\frac{3}{8}\)

\(y_{min}=-2\) khi \(sinx=1\)