Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
GIẢI HỘ MK VS, MK LÀM KO RA
cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3
CMR: a+ab+2abc \(\leq \) 9/2
\(a+b+c=3\Rightarrow b=3-a-c\)
\(\Leftrightarrow a+a\left(3-a-c\right)+2ac\left(3-a-c\right)\le\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow f\left(a\right)=\left(2c+1\right)a^2+\left(2c^2-5c-4\right)a-\frac{9}{2}\ge0\)
thấy f(a) là một tam thức bậc 2 của a có hệ số a2>=0 và lại có
\(\Delta=\left(2c^2-5c-4\right)^2-48\left(2c+1\right)=\left(2c-1\right)^2\left(c^2-4c-2\right)\le0\)
đúng do 0=<c=<3
=> f(a) >=0
dấu "=" xảy ra khi \(a=\frac{3}{2};b=1;c=\frac{1}{2}\)
Đặt ab + bc + ca = q; abc = r. Ta có:
\(A=\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)+6\left(a+b+c\right)+27}{abc+3\left(ab+bc+ca\right)+9\left(a+b+c\right)+27}-\dfrac{1}{3\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(A=\dfrac{q+33}{r+3q+36}-\dfrac{1}{3q}\).
Theo bất đẳng thức Schur: \(a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3+9abc\ge4\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow9r\ge4q-1\Leftrightarrow r\ge\dfrac{4q-1}{9}\).
Từ đó \(A\le\dfrac{q+33}{\dfrac{4q-1}{9}+3q+36}-\dfrac{1}{3q}\)
\(\Rightarrow A\leq \frac{27q^2+860q-323}{93q^2+969q}\)
\(\Rightarrow A+\dfrac{1}{10}=\dfrac{\left(3q-1\right)\left(121q+3230\right)}{30q\left(31q+323\right)}\le0\). (Do \(q=ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{1}{3}\))
\(\Rightarrow A\leq \frac{-1}{10}\). Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Bài 4:
b: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao
nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(HB\cdot HC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=HB\cdot HC\)
Bài 1:
\(\left\{{}\begin{matrix}a=5c+1\\b=5d+2\end{matrix}\right.\)
\(a^2+b^2=\left(5c+1\right)^2+\left(5d+2\right)^2\)
\(=25c^2+10c+1+25d^2+20d+4\)
\(=25c^2+25d^2+10c+20d+5\)
\(=5\left(5c^2+5d^2+2c+4d+1\right)⋮5\)
Bài 3:
a: \(4x^2+12x+15=4x^2+12x+9+6=\left(2x+3\right)^2+6>=6\forall x\)
Dấu '=' xảy ra khi x=-3/2
b: \(9x^2-6x+5=9x^2-6x+1+4=\left(3x-1\right)^2+4>=4\forall x\)
Dấu '=' xảy ra khi x=1/3
