Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}>=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
30 tháng 4 2020
Áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel,ta có :
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{b+c-a+c+a-b}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{c+a-b+a+b-c}=\frac{2}{a}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{2}{b}\)
Cộng lại theo vế rồi chia cho 2, ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
NC
14 tháng 7 2020
Bài làm:
Ta xét: \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)(BĐT Cauchy dạng cộng mẫu)
Tương tự ta chứng minh được:
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{a}\)và \(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c}\)
Cộng vế 3 bất đẳng thức trên ta được:
\(2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
Sa
17 tháng 8 2016
Ta có : a+b > c , b+c > a , c+a > b
Xét : \(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{b+c+a}=\frac{2}{a+b+c}>\frac{2}{a+b+a+b}=\frac{1}{a+b}\)
Tương tự , ta cũng có : \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+c};\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}>\frac{1}{b+c}\)
Vậy ta có đpcm
Chú ý : a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác chứ không phải a+b,b+c,c+a nhé :)
17 tháng 11 2019
Link https://lazi.vn/edu/exercise/cho-a-b-c-la-do-dai-3-canh-cua-mot-tam-giac-va-p-la-nua-chu-vi-chung-minh-1-p-a-1-p-b-1-p-c-21-a-a-b-1-c
TN
13 tháng 5 2017
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ta có:
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
Tương tự cho các BĐT còn lại có:
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c};\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{2}{a}\)
Cộng theo vế các BĐT trên ta có:
\(2VT\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=2VP\Rightarrow VT\ge VP\)
ĐẲng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
20 tháng 4 2020
Ta có : \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(3+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)< 10\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}< 7\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+c}{b}+\frac{b+a}{c}+\frac{c+b}{a}< 7\)
Không giảm tổng quá .Giả sử a là cạnh lớn nhất .Giả b + c < a => 0 < \(\frac{b+c}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{a+c}{b}+\frac{b+a}{c}+\frac{c+b}{a}>\frac{2c+b}{b}+\frac{2b+c}{c}+\frac{b+c}{a}\)( không chắc lắm )
= \(\frac{2c}{b}+\frac{2b}{c}+\frac{b+c}{a}+2\)
=\(\frac{2\left(b+c\right)^2}{bc}+\frac{b+c}{a}-2>7\left(VL\right)\)
=>b+ c > a => a ; b ; c là 3 cạnh tam giác ( đpcm )
18 tháng 12 2016
Cauchy ở mẫu \(a^2+bc\ge2a\sqrt{bc}\)
Vậy vế trái \(\le\frac{1}{2a\sqrt{bc}}+\frac{1}{2b\sqrt{ca}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\)
Và lượng trên tử bé hơn bằng \(ab+bc+ca\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\), ta có:
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{b+c-a+a+c-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{a+b-c+a+c-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
Cộng thế vế thứ 3 bất đắng thức , ta có:
\(2VT\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=2VP\Rightarrow VT\ge VP\)
Vậy HĐT sảy ra khi a=b=c
CHÚC BẠN HỌC TỐT