cho a,b,c các số thực thỏa mãn 1<=a,b,c<=2
tìm gtnn của biểu thức
A = \(\sqrt{4a^2-12ab+9b^2}+2\sqrt{b^2-2bc+c^2}+\sqrt{4c-12ac+9a^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
25 tháng 7 2021
Bài 2 :
\(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ca\right)\)
<=> a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3ab + 3bc + 3ca
<=> a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca
<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 2ab + 2bc + 2ca
<=> ( a - b )^2 + ( b - c )^2 + ( c - a )^2 = 0
<=> a = b = c
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 7 2021
1.
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+18=2ab+6a+6b\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-6a+9\right)+\left(b^2-6b+9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-3\right)^2+\left(b-3\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\a-3=0\\b-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=3\)
2.
\(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=3ab+3bc+3ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=c\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 3 2022
1.
Ta sẽ chứng minh BĐT sau: \(\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{b^2+c^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2}\ge\dfrac{10}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Do vai trò a;b;c như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(c=min\left\{a;b;c\right\}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=a+\dfrac{c}{2}\\y=b+\dfrac{c}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+y=a+b+c\)
Đồng thời \(b^2+c^2=\left(b+\dfrac{c}{2}\right)^2+\dfrac{c\left(3c-4b\right)}{4}\le\left(b+\dfrac{c}{2}\right)^2=y^2\)
Tương tự: \(a^2+c^2\le x^2\) ; \(a^2+b^2\le x^2+y^2\)
Do đó: \(A\ge\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh: \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge\dfrac{10}{\left(x+y\right)^2}\)
Mà \(\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2}\le\dfrac{1}{4xy}\) nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge\dfrac{5}{2xy}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{2}{xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}-\dfrac{1}{2xy}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)^2}{x^2y^2}-\dfrac{\left(x-y\right)^2}{2xy\left(x^2+y^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)^2\left(2x^2+2y^2-xy\right)}{2x^2y^2}\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(A\ge\dfrac{10}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\dfrac{10}{3^2}=\dfrac{10}{9}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};0\right)\) và các hoán vị của chúng
T
1
17 tháng 7 2021
áp dụng BĐT Bunhiacopxky
\(=>\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=>3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge1^2\)
\(=>a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\left(đpcm\right)\)
dấu"=" xảy ra<=>\(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
ND
Nguyễn Đức Trí
VIP
15 tháng 9 2023
1) \(\left\{{}\begin{matrix}a^3+b^3+c^3=3abc\\a+b+c\ne0\end{matrix}\right.\) \(\left(a;b;c\in R\right)\)
Ta có :
\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\) (Bất đẳng thức Cauchy)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\left(a^3+b^3+c^3=3abc\right)\)
Thay \(a=b=c\) vào \(P=\dfrac{a^2+2b^2+3c^2}{3a^2+2b^2+c^2}\) ta được
\(\Leftrightarrow P=\dfrac{6a^2}{6a^2}=1\)
ND
Nguyễn Đức Trí
VIP
15 tháng 9 2023
\(3^x=y^2+2y\left(x;y>0\right)\)
\(\Leftrightarrow3^x+1=y^2+2y+1\)
\(\Leftrightarrow3^x+1=\left(y+1\right)^2\left(1\right)\)
- Với \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)
\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow3^0+1=\left(0+1\right)^2\Leftrightarrow2=1\left(vô.lý\right)\)
- Với \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)
\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow3^1+1=\left(1+1\right)^2=4\left(luôn.luôn.đúng\right)\)
- Với \(x>1;y>1\)
\(\left(y+1\right)^2\) là 1 số chính phương
\(3^x+1=\overline{.....1}+1=\overline{.....2}\) không phải là số chính phương
\(\Rightarrow\left(1\right)\) không thỏa với \(x>1;y>1\)
Vậy với \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\) thỏa mãn đề bài
16 tháng 7 2020
Mình xài p,q,r nhé :))
Ta có:
\(a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r=1-3q+3r\)
\(a^4+b^4+c^4=1-4q+2q^2+4r\)
Khi đó BĐT tương đương với:
\(\frac{1}{8}+2q^2+4r-4q+1\ge1-3q+3r\)
\(\Leftrightarrow2q^2-q+\frac{1}{8}+r\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(q-\frac{1}{4}\right)+r\ge0\) ( đúng )
T
21 tháng 7 2020
\(a^4+b^4+c^4+\frac{1}{8}\left(a+b+c\right)^4\ge\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a+b+c\right)\)
Khúc đầu có gì đâu nhỉ: \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(=p^3-3\left[\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\right]\)
\(=p^3-3pq+3r\)
--------------------------------------
\(a^4+b^4+c^4=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(=\left[\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)\right]^2-2\left[\left(ab+bc+ca\right)^2-2abc\left(a+b+c\right)\right]\)
\(=\left(p^2-2q\right)^2-2\left(q^2-2pr\right)\)
\(=p^4-4p^2q+2q^2+4pr\)
Xem thêm các đẳng thức thông dụng tại: https://bit.ly/3hllKCq
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 3 2022
Ta có:
\(\dfrac{1}{a+3b}+\dfrac{1}{c+3}\ge\dfrac{4}{a+3b+c+3}=\dfrac{4}{2b+6}=\dfrac{2}{b+3}\)
Tương tự:
\(\dfrac{1}{b+3c}+\dfrac{1}{a+3}\ge\dfrac{2}{c+3}\)
\(\dfrac{1}{c+3a}+\dfrac{1}{b+3}\ge\dfrac{2}{a+3}\)
Cộng vế:
\(\sum\dfrac{1}{a+3b}+\sum\dfrac{1}{a+3}\ge\sum\dfrac{2}{a+3}\)
\(\Rightarrow\sum\dfrac{1}{a+3b}\ge\sum\dfrac{1}{a+3}\) (đpcm)
Ta có :
\(A=\sqrt{\left(2a-3b\right)^2}+2\sqrt{\left(b-c\right)^2}+\sqrt{\left(2c-3a\right)^2}\)
\(A=\left|2a-3b\right|+2\left|b-c\right|+\left|2c-3a\right|\)
\(\ge3b-2a+2\left(c-b\right)+\left(3a-2c\right)=a+b\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}3b-2a,c-b,3a-2c\ge0\\a=b=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=1\\1\le c\le\frac{3}{2}\end{cases}}}\)
Vậy Min A = 2 khi a = b = 1 và c \(\in\)\(\left[1,\frac{3}{2}\right]\)