cho các số a, b, c nguyên. Chứng ming rằng a3 + b3 + c3 chia hết cho 6 khi và chỉ khi a + b + c chia hết cho 6
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
0
16 tháng 3 2016
\(S=a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}-\left(a+b+c\right)=a\left(a^{2014}-1\right)+b\left(b^{2014}-1\right)+c\left(c^{2014}-1\right)\)
Ta có : \(a\left(a^{2014}-1\right)=a\left(a^{1007}-1\right)\left(a^{1007}+1\right)\) Bạn tự CM chia hết cho 6
=> S chia hết cho 6
=> dpcm
TV
2
9 tháng 1 2021
Rõ ràng trong hai số a, b, c tồn tại một số chẵn (Vì nếu a, b, c đều lẻ thì a3 + b3 + c3 là số lẻ, không chia hết cho 14).
Ta lại có \(a^3;b^3;c^3\equiv0;1;-1\).
Do đó nếu a, b, c đều không chia hết cho 7 thì \(a^3;b^3;c^3\equiv1;-1\left(mod7\right)\Rightarrow a^3+b^3+c^3⋮̸7\).
9 tháng 1 2021
Làm tiếp: Suy ra trong ba số a, b, c có ít nhất một số chia hết cho 7 \(\Rightarrow abc⋮7\).
Vậy abc chia hết cho 14.
15 tháng 8 2018
a3+b3+c3=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ac)+3abc
=(a+b+c)[a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc−3ac−3bc−3ab)+3abc
=(a=b+c)[(a+b+c)2−3(ab+bc+ac)]+3abc
*Nếu a+b+c⋮3⇒a3+b3+c3⋮3
*Nếu a3+b3+c3⋮3⇒(a+b+c)[(a+b+c)2−3(ab+bc+ca)]⋮3⇒a+b+c⋮3
làm như vậy nha, mk xin lỗi , ko bt cách viết số mũ nha, k nha
15 tháng 8 2018
Xét \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\)
\(=\left[\left(a+b\right)^3+c^3\right]-3ab\left(a+b\right)-3abc\)
\(=\left(a+b+c\right).\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right).c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right).\left[a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\)
- Nếu \(a+b+c⋮3\)\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)⋮3\)
Mà 3abc chia hết cho 3 \(\Rightarrow a^3+b^3+c^3⋮3\)
- Nếu \(a^3+b^3+c^3⋮3\)mà \(3abc⋮3\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc⋮3\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)⋮3\Rightarrow a+b+c⋮3\)
Chúc bạn học tốt.
NT
1
S
13 tháng 7 2018
Thiếu điều kiện a,b,c thuộc Z
Ta có: \(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên (a-1)a(a+1) chia hết cho 6
CM tương tự ta cũng có: \(b^3-b⋮6;c^3-c⋮6\)
\(\Rightarrow\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a+b+c\right)⋮6\)
-Nếu \(a^3+b^3+c^3⋮6\Rightarrow a+b+c⋮6\)
-Nếu \(a+b+c⋮6\Rightarrow a^3+b^3+c^3⋮6\)
=>đpcm
T
2
16 tháng 8 2023
Ta có \(P=a^3+b^3+c^3\)
\(P=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-7b\right)+\left(2c^3-2024c\right)+a+7b+2024c-c^3\)
\(P=a\left(a^2-1\right)+b\left(b^2-7\right)+2c\left(c^2-1012\right)\) ( do \(a+7b+2024c=c^3\))
Dễ thấy \(a\left(a^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6.
Xét \(f\left(b\right)=b\left(b^2-7\right)\). Dễ thấy \(f\left(b\right)\) chẵn với mọi số nguyên \(b\). Nếu \(b⋮3\Rightarrow f\left(b\right)⋮3\). Nếu \(b⋮̸3\) thì \(b^2\equiv1\left[3\right]\) \(\Rightarrow b^2-7⋮3\) \(\Rightarrow f\left(b\right)⋮3\). Vậy \(f\left(b\right)⋮3\) với mọi số nguyên \(b\). Vậy thì \(f\left(b\right)⋮6\)
Xét \(g\left(c\right)=2c\left(c^2-1012\right)\). Cũng dễ thấy \(g\left(c\right)\) chẵn. Nếu \(c⋮3\) thì \(g\left(c\right)⋮3\). Nếu \(c⋮̸3\) thì \(c^2\equiv1\left[3\right]\) \(\Rightarrow c^2-1012⋮3\) \(\Rightarrow g\left(c\right)⋮3\). Thế thì \(g\left(c\right)⋮6\) với mọi số nguyên \(c\)
Từ đó \(P=a\left(a^2-1\right)+f\left(b\right)+g\left(c\right)⋮6\), đpcm.
17 tháng 10 2021
a: \(a^3-a=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)
Vì a;a-1;a+1 là ba số nguyên liên tiếp
nên \(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮3!\)
hay \(a^3-a⋮6\)
Xét hiệu: A=a3+b3+c3-a-b-c = (a3-a)+(b3-b)+(c3-c)
=a(a-1)(a+1) + b(b-1)(b+1) + c(c-1)(c+1)
Tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn ⋮ 6 vì trong 3 số đó có 1 số chia hết cho 2 ; một số chia hết cho 3 (Điều hiển nhiên)
⇒ A ⋮ 6
Vậy nếu a3+b3+c3 chia hết cho 6 thì a+b+c chia hết cho 6 và ngược lại.(ĐPCM)