Cho đuờng tròn (O,R) có dây BC cố định, điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Gọi AD, BE, CF là các đuờng cao và H là trực tâm của tam giác ABC, I là trung điểm của BC.1) Chứng minh 4 điểm A,F,H,E cùng n...

Cho tam giác ��ABC nhọn nội tiếp đường tròn (�;�)(O;R), dây ��BC cố định, điểm �A di động trên cung lớn ��BC. Gọi ��,��,��AD,BE,CF là các đường cao (�∈��,�∈��,�∈��)(D∈BC,E∈AC,F∈AB) và �H là trực tâm của tam giác ��,�ABC,I là trung điểm của ��BC và �K là trung điểm của ��AH. a) Chứng minh 4 điềm �,�,�,�B,C,E,F cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng...

0

TM

Trần Minh Đức

VIP

17 tháng 6 2023

1

NT

Nguyễn Thị Thương Hoài

Giáo viên VIP

19 tháng 6 2023

loading...

a, Xét tam giác vuông EBC vuông tại E và CI = IB

⇒ IE = IC = IB ⁽¹⁾ ( vì trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng \(\dfrac{1}{2}\) cạnh huyền)

Xét tam giác vuông BCF vuông tại F và IC =IB

⇒IF = IC = IB ⁽²⁾ (vì trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng \(\dfrac{1}{2}\) cạnh huyền)

Từ (1) và (2) ta có:

IE = IF = IB = IC

Vậy bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn tâm I bán kính bằng \(\dfrac{1}{2}\) BC (đpcm)

b, Xét \(\Delta\)AFC và \(\Delta\)AEB có:

\(\widehat{CAF}\) chung ; \(\widehat{AFC}\) = \(\widehat{AEB}\) = 90⁰

⇒ \(\Delta\)AFC \(\sim\) \(\Delta\)AEB (g-g)

⇒ \(\dfrac{AF}{AE}\) = \(\dfrac{AC}{AB}\) (theo định nghĩa hai tam giác đồng dạng)

⇒AB.AF = AC.AE (đpcm)

Xét tam giác vuông AEH vuông tại E và KA = KH

⇒ KE = KH ( vì trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng \(\dfrac{1}{2}\) cạnh huyền)

⇒\(\Delta\)EKH cân tại K ⇒ \(\widehat{KEH}\) = \(\widehat{EHK}\)

\(\widehat{EHK}\) = \(\widehat{DHB}\) (vì hai góc đối đỉnh)

⇒ \(\widehat{KEH}\) = \(\widehat{DHB}\) ( tc bắc cầu) (3)

Theo (1) ta có: IE = IB ⇒ \(\Delta\) IEB cân tại I

⇒ \(\widehat{IEB}\) = \(\widehat{IBE}\) (4)

Cộng vế với vế của (3) và(4)

Ta có: \(\widehat{KEI}\) = \(\widehat{KEH}\) + \(\widehat{IEB}\) = \(\widehat{DHB}\) + \(\widehat{IBE}\) = \(\widehat{DHB}\) + \(\widehat{DBH}\)

Vì tam giác DHB vuông tại D nên \(\widehat{DHB}\) + \(\widehat{DBH}\) = 180⁰ - 90⁰ = 90⁰

⇒\(\widehat{KEI}\) = 90⁰

IE \(\perp\) KE (đpcm)

MN

Miền Nguyễn

23 tháng 9 2021

Cho tam giác ABC, các đường cao AD, BE và CF. Gọi H là trực tâm của tam giác.

a) Chứng minh 4 điểm A,E,H,F cùng nằm trên 1 đường tròn xác định tâm I.

b) gọi O là trung điểm BC. Chứng minh OE là tiếp điểm của đường tròn (I).

Cho (O), bán kinh R và một dây cung BC cố định, A là một điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AC, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H. Các đường thẳng BE và CF cắt đường tròn tâm O tại điểm thứ 2 lần lượt là Q và P1, Chứng minh B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn2, Chứng minh các đường thẳng PQ, EF song song với nhau 3, Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh...

0

XT

Xuân Thường Đặng

18 tháng 3 2021

1

NN

Nguyễn Ngọc Anh Minh

VIP

18 tháng 3 2021

a/

Ta thấy F và E đều nhìn BC dưới cùng 1 góc 90 độ nên E,F nằm trên đường tròn đường kính BC ta gọi là đường tròn (O')

=> B,F,E,C cùng nawmg trên một đường tròn

b/

Xét đường tròn (O) ta có

sđ \(\widehat{BQP}=\) sđ \(\widehat{BCP}=\frac{1}{2}\) sđ cung BP (góc nội tiếp đường tròn) (1)

Xét đường tròn (O') ta có

sđ \(\widehat{BEF}=\) sđ \(\widehat{BCP}=\frac{1}{2}\) sđ cung BF (góc nội tiếp đường tròn) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{BQP}=\widehat{BEF}\) => PQ//EF (Hai đường thẳng bị cắt bởi đường thẳng thứ 3 có hai góc ở vị trí đồng vị thì chúng // với nhau

c/ ta thấy F và D cùng nhìn BH dưới cùng 1 góc 90 độ nên BDHF là tứ giác nội tiếp

sđ \(\widehat{ABE}=\)sđ \(\widehat{FDA}=\frac{1}{2}\) sđ cung FH (1)

Ta thấy D và E cùng nhìn AB đướ cùng 1 góc 90 độ nên ABDE là tứ giác nội tiếp

sđ \(\widehat{ABE}=\)sđ \(\widehat{ADE}=\frac{1}{2}\) sđ cung AE (2)

Mà \(\widehat{FDA}+\widehat{ADE}=\widehat{FDE}\) (3)

Từ (1) (2) và (3) \(\Rightarrow\widehat{FDE}=2.\widehat{ABE}\left(dpcm\right)\)

Cho BC là dây cung cố định của đường tròn tâm O,bán kính R (0 BC 2R). A là điếm di động trên cung lớn BC sao cho A ABCnhon. Các đường cao AD; BE; CF Của AABC cắt nhau tai H(D thuộc BC, E thuộc CA, F thuộc AB ). a) Chứng minh: 4 điểm A,E,H,F cùng thuộc một đường tròn và AE.AC = AF.AB b) góc FED c) Goil là trung điểm của BC. Chứng minh : AH = 210; Goi BE CF,cắt (O) tại PQ. Chứng minh: 2EF = PQ Kė đường thẳng d tiếp xúc...

NT

Ngô Tú Linh

27 tháng 2 2023

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

27 tháng 2 2023

a: Xét tư giác AEHF có

góc AEH+góc AFH=180 độ

=>AEHF là tứ giác nội tiếp

c: Gọi AD là đường kính của (O)

=>O là trung điểm của AD

Xét (O) có

ΔABD nội tiếp

AD là đường kính

=>ΔABD vuông tại B

=>BD//CH

Xét (O) có

ΔACD nội tiếp

AD là đường kính

=>ΔACD vuông tại C

=>CD//BH

Xét tứ giác BHCD có

BH//CD
BD//CH

=>BHCD là hình bình hành

=>I là trug điểm của HD

Xét ΔDAH có DO/DA=DI/DH

nên OI//AH và OI/AH=DO/DA=1/2

=>OI=1/2AH

cho đường tròn (O;R) và dây cung BC cố định (BC<2R) . Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho ABC là tam giác có 3 góc nhọn. Các đường cao AD,BE,CF của tam giác cắt nhau tại H . a) CM:tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn; xác định tâm I của đường tròn đó.b)CMR:khi điểm A di động thì tiếp tuyến tại E của đường tròn tâm (I) luôn đi qua 1 điểm cố định.c)Xác định vị trí của điểm A để tam giác AEF có diện...

KN

Khiêm Nguyễn doãn

11 tháng 4 2023

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

11 tháng 4 2023

a: góc AEH+góc AFH=180 độ

=>AEHF nội tiếp

Tâm I là trung điểm của AH

BT

Bùi Tiến Thành

2 tháng 10 2021

Cho tam giác ABC, các đường cao AD,BE và CF. Gọi H là trực tâm
a) Chứng minh 4 điểm A,E,H,F cùng thuộc 1 đường tròn, Gọi I là tâm của đường tròn đó, hãy xác định I
b) Gọi O là trung điểm BC, chứng minh OE là tiếp tuyến của (I)

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

2 tháng 10 2021

a: Xét tứ giác AEHF có

\(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=180^0\)

Do đó: AEHF là tứ giác nội tiếp

Tâm I là trung điểm của AH

Cho tam giác ABC, các đường cao AD,BE,CF. Gọi H là trực tam của tam giác. a) Chứng minh A, E, H, F cùng nằm trên một đường tròn xác định tâm I. b) Gọi O là trung điểm BC. Chứng minh OE là tiếp tuyến đường tròn tâm...

T

tthnew

21 tháng 12 2020

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

21 tháng 12 2020

\(OE=OB=\dfrac{1}{2}BC\Rightarrow\widehat{OBE}=\widehat{OEB}\)

\(\widehat{AHE}=\widehat{BHO}\) ; \(\widehat{BHO}+\widehat{HBD}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{AHE}+\widehat{HBD}\left(\widehat{OBE}\right)=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{AHE}+\widehat{OEB}=90^0\)

\(IE=IH=r\Rightarrow\widehat{AHE}=\widehat{IEH}\)

\(\Rightarrow\widehat{IEH}+\widehat{OEB}=90^0\Rightarrow IE\perp OE\)

T

tthnew

21 tháng 12 2020

^AHE=^BHD chứ ạ?

Cho đường tròn tâm O, bán kính R và một dây cung BC cố định (BC không đi qua O). A là một điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AD, BE và CF của tam giác ABC đồng quy tại H. Các đường thẳng BE và CF cắt đường tròn tâm O tại điểm thứ hai lần lượt là Q và P.a) CMR: bốn điểm B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn.b) CMR: các đường PQ, EF song song với nhau.c) Gọi I...

MD

Minh Đăng

14 tháng 5 2016

2

NN

Nguyễn Nhung

23 tháng 4 2019

bạn ơi cho mình hỏi bài này ở đề năm bao nhiêu của thành phố nào vậy bạn?????

VT

VŨ TRỊNH

2 tháng 5 2019

3. Xét tứ giác BFHD có:
HFB + HDB = 90º + 90º = 180º => BFHD là tứ giác nội tiếp. ⇒ FBH = FDH (1)
Tương tự có DHEC là tứ giác nội tiếp, ⇒HCE = HDE (2)

Mà BFEC là tứ giác nội tiếp nên FCE = FBE (3)
Từ (1) (2) (3)⇒ 2ABE = FDH + HDE = FDE
Vì BFEC là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm I, đường kính BC nên theo quan hệ giữa góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung EF, ta có: FIE = 2.FBE = 2.ABE
⇒FIE = FDE

4.Vì BFEC là tứ giác nội tiếp nên:
ABC = 180º – FEC = AEF => ΔAEF ~ ΔABC (g.g)

Suy ra độ dài EF không đổi khi A chạy trên cung lớn BC của đường tròn (O)
Gọi K là giao điểm thứ 2 của ED và đường tròn đường kính BC
Theo tính chất góc ngoài: FDE = DKE + DEK
Theo ý 3 và quan hệ giữa góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung, có FDE = FIE = 2.DKE

⇒DKE = DEK => ΔDEK cân tại D => DE = DK

Chu vi ΔDEF là P = DE + EF + FD = EF + FD + DK = EF + FK
Có FK ≤ BC ( dây cung – đường kính) => P ≤ EF + BC không đổi
Dâu bằng xảy ra khi và chỉ khi FK đi qua I ⇔ D trùng I ⇔ ΔABC cân tại A.
Vậy A là điểm chính giữa của cung lớn BC

cho đường tròn (O;R) có BC là dây cố định (BC<2R) ; E là điểm chính giữa cung nhỏ BC. gọi A là điểm di động trên cung lớn BC và AB<AC (A khác B). trên đoạn AC lấy điểm D khác C sao cho ED=EC. tia BD cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là F. a) chứng minh D là trực tâm của tam giác AEF. b) gọi H là trực tâm tam giác DEC ; DH cắt BC tại N. đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN cắt đường tròn (O;R)...

TN

Truong Ngo Tho

28 tháng 8 2016

1

NT

Nguyễn Tất Đạt

20 tháng 7 2019

a) Bổ đề: Xét tam giác ABC cân tại A, một điểm M bất kì sao cho ^AMB = ^AMC. Khi đó MB = MC.

Bổ đề chứng minh rất đơn giản, không trình bày ở đây.

Áp dụng vào bài toán: Vì E là điểm chính giữa (BC nên EB = EC = ED => \(\Delta\)BED cân tại E

Ta có ^BAE = ^CAE (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay ^BAE = ^DAE

Áp dụng bổ đề vào \(\Delta\)BED ta được AB = AD. Khi đó AE là trung trực của BD => AE vuông góc BD

Lại có \(\Delta\)BAD ~ \(\Delta\)CFD (g.g). Mà AB = AD nên FD =FC. Từ đó EF vuông góc DC

Xét \(\Delta\)AEF có FD vuông góc AE (cmt), AD vuông góc EF (cmt) => D là trực tâm \(\Delta\)AEF (đpcm).

b) Gọi DN cắt EC tại I. Ta dễ thấy ^MDI = ^MDN = ^MBN = ^MBC = ^MEC = ^MEI

Suy ra bốn điểm D,E,M,I cùng thuộc một đường tròn => ^EMD = ^EID = 90⁰

Nếu ta gọi MD cắt cung lớn BC của (O) tại S thì ^EMS chắn nửa (O) hay ES là đường kính của (O)

Mà E là điểm chính giữa cung nhỏ BC nên S là điểm chính giữa cung lớn BC

Do đó S là điểm cố định (Vì B,C cố định). Vậy MD luôn đi qua S cố định (đpcm).