Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm bất kỳ trên cạnh AC, qua M kẻ các đường thẳng ME, MF lần lượt song song với cạnh AB, BC. Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác BEMF có diện tích lớn nhất
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
21 tháng 3 2016
Tứ giác BEMF là hình bình hành ( hai cặp cạnh đối song song) |
Kẻ AH vuông góc BC tại H , AH cắt MF tại G. Ta có diện tích ABC=1/2AH*BC và S bemf=fm*gh nên Sbemf/Sabc=2*HG/AH*FM/BC |
Gọi AM = x; MC = y thìAC = x + y Xét tam giácABC có MF // BC (gt)FM/BC=AM/AC ( hệ quả định lí Talet) Thì FM/BC=x/x+y |
Xét tam giácAHC có GM //HCthì HG/AH=CM/AC ( định lí Talet) HG/AH=x/x+y |
Do đó Sbefm/Sabc=2*xy/(x+y)^2 Ta có : (x-y)^2>=0thif(x+y)^2>=4xy thì xy/(x+y)^2<=1/4 |
Sbemf/Sabc<=2*1/4hay Sbemf<=1/2Sabc |
Mà Sabc không đổi nên Sbemf đạt giá trị lớn nhất là 1/2Sabc khi và chỉ khi x=y Hay M là trung điểm của AC. Gõ mỏi tay ko biết đc j ko-_- |
NX
5 tháng 9 2023
Ta đặt: \(S_{BEMF}=S_1;S_{ABC}=S\)
Kẻ \(AK\perp BC\) ; \(AK\) cắt \(EM\left\{H\right\}\)
Ta có: \(S_1=EM.HK\)
\(\Leftrightarrow S=\dfrac{1}{2}BC.AK\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{S_1}{S}=2\dfrac{EM}{BC}.\dfrac{KH}{AK}\)
Đặt \(MA=x;MC=y\) . Theo định lý Thales ta có:
\(\dfrac{EM}{BC}=\dfrac{x}{x+y};\dfrac{HK}{AK}=\dfrac{x}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{S_1}{S}=\dfrac{2xy}{\left(x+y\right)^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi dạng \(\dfrac{ab}{\left(a+b\right)^2}\le\dfrac{1}{4}\) ta được:
\(\dfrac{S_1}{S}=\dfrac{2xy}{\left(x+y\right)^2}\le\dfrac{1}{2}\) hay \(S_1\le\dfrac{1}{2}S\)
\(\Leftrightarrow MaxS_1=\dfrac{1}{2}S\)
\(\Leftrightarrow\) \(M\) là trung điểm của \(AC\)
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
9 tháng 5 2017
a. Do ME // AC nên \(\frac{ME}{AC}=\frac{BM}{BC}\); MF // AB nên \(\frac{MF}{AB}=\frac{MC}{BC}\)
Từ đó suy ra \(\frac{ME}{AC}+\frac{MF}{AB}=\frac{BM+MC}{BC}=1\) không đổi.
b. Gọi \(\frac{ME}{AC}=t\Rightarrow\frac{MF}{AB}=1-t\Rightarrow S_{ABC}=\frac{a^2}{t^2}=\frac{b^2}{\left(1-t\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{t}=\frac{b}{1-t}\Rightarrow a\left(1-t\right)=bt\Rightarrow t=\frac{a}{a+b}\Rightarrow t^2=\frac{a^2}{\left(a+b\right)^2}\Rightarrow S_{ABC}=\frac{a^2}{t^2}=\left(a+b\right)^2.\)
c. \(S_{AEMF}=S_{ABC}-S_{BME}-S_{CMF}=\left(a+b\right)^2-a^2-b^2\)
\(=2ab\le a^2+b^2\)
Dấu bằng xảy ra khi a = b, tức là M là trung điểm BC.
Ta có: \(S_{BEMF}=S_{ABC}-\left(S_{AEM}+S_{CMF}\right)\)
Để: \(S_{BEMF}\) lớn nhất thì \(\Leftrightarrow S_{AEM}+S_{CMF}\) phải nhỏ nhất.
\(\Leftrightarrow M\) là trung điểm của \(AC\) thì diện tích tứ giác \(BEMF\) có diện tích lớn nhất.