Cho \(a,b,c\in Z\) để \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=a+b+c\)
CMR: \(\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3⋮81\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 1 2022
1. Đề sai, ví dụ (a;b;c)=(1;2;2) hay (1;2;7) gì đó
2. Theo nguyên lý Dirichlet, trong 4 số a;b;c;d luôn có ít nhất 2 số đồng dư khi chia 3.
Không mất tính tổng quát, giả sử đó là a và b thì \(a-b⋮3\)
Ta có 2 TH sau:
- Trong 4 số có 2 chẵn 2 lẻ, giả sử a, b chẵn và c, d lẻ \(\Rightarrow a-b,c-d\) đều chẵn \(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(c-d\right)⋮4\)
\(\Rightarrow\) Tích đã cho chia hết 12
- Trong 4 số có nhiều hơn 3 số cùng tính chẵn lẽ, khi đó cũng luôn có 2 hiệu chẵn (tương tự TH trên) \(\Rightarrowđpcm\)
3. Với \(n=1\) thỏa mãn
Với \(n>1\) ta có \(3^n\equiv\left(5-2\right)^n\equiv\left(-2\right)^n\left(mod5\right)\)
\(\Rightarrow n.2^n+3^n\equiv n.2^n+\left(-2\right)^n\left(mod5\right)\)
Mặt khác \(n.2^n+\left(-2\right)^n=2^n\left(n+\left(-1\right)^n\right)\)
Mà \(2^n⋮̸5\Rightarrow n+\left(-1\right)^n⋮5\)
TH1: \(n=2k\Rightarrow2k+1⋮5\Rightarrow2k+1=5\left(2m+1\right)\Rightarrow k=5m+2\)
\(\Rightarrow n=10m+4\)
TH2: \(n=2k+1\Rightarrow2k+1-1⋮5\Rightarrow2k⋮5\Rightarrow k=5t\Rightarrow n=10t+1\)
Vậy với \(\left[{}\begin{matrix}n=10k+4\\n=10k+1\end{matrix}\right.\) (\(k\in N\)) thì số đã cho chia hết cho 5
KB
15 tháng 9 2018
2 ) b )
\(a+b+c+d=0\)
\(\Leftrightarrow a+b=-\left(c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=-\left(c+d\right)^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3a^2b+3b^2a=-c^3-3c^2d-3d^2c-d^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3a^2b+3b^2a+c^3+3c^2d+3d^2c+d^3=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=-3a^2b-3b^2a-3c^2d-3d^2c\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=-3ab\left(a+b\right)-3cd\left(c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=3ab\left(c+d\right)-3cd\left(c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=3\left(ab-cd\right)\left(c+d\right)\) \(\left(đpcm\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 3 2019
\(\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3\)
\(=\left[\left(a-b\right)+\left(b-c\right)\right]^3-3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-b+b-c\right)+\left(c-a\right)^3\)
\(=\left(a-c\right)^3+3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)+\left(c-a\right)^3\)
\(=3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)
Vậy việc ta cần làm là chứng minh \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)⋮27\)
Do vai trò của a, b, c là hoàn toàn tương tự, ta chỉ cần xét các trường hợp sau:
- Nếu a chia hết cho 3; b chia 3 dư 1; c chia 3 dư 2 \(\Rightarrow VT=\left(a+b+c\right)⋮3\)
\(\left(a-b\right)\) chia 3 dư 2; \(\left(b-c\right)\) chia 3 dư 2; \(\left(c-a\right)\) chia 3 dư 2 \(\Rightarrow VP=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)⋮̸3\Rightarrow VT\ne VP\) (vô lý) \(\Rightarrow\) loại
- Nếu a và b cùng số dư khi chia 3 và khác số dư của c khi chia 3 \(\Rightarrow\left(a-b\right)⋮3\)
\(\Rightarrow VP=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)⋮3\)
Mà \(VT=\left(a+b+c\right)⋮̸3\Rightarrow VT\ne VP\Rightarrow\) loại
Vậy \(a,b,c\) phải cùng số dư khi chia 3
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b⋮3\\b-c⋮3\\c-a⋮3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)⋮27\) (đpcm)
KN
22 tháng 1 2020
Đặt BĐT cần c/m là A
Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm:
\(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}.\frac{a+b}{8}.\frac{a+c}{8}}=\frac{3a}{4}\)
\(\frac{b^3}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+a}{8}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{b^3}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}.\frac{b+c}{8}.\frac{b+a}{8}}=\frac{3b}{4}\)
\(\frac{c^3}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}+\frac{c+a}{8}+\frac{c+b}{8}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{c^3}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}.\frac{c+a}{8}.\frac{c+b}{8}}=\frac{3c}{4}\)
Cộng từng vế của các BĐT trên, ta được:
\(A+\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{4}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{3}{4}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c\))
Ta có \(\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3=3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)
Để tổng trên chia hết cho 81 thì \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)⋮27\)
Mà \(a+b+c=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)
Bài toán trở thành: Cho \(x+y+z=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\). CMR: \(x+y+z⋮27\) - Hoc24