Cho các số thực a, b, c thỏa mãn:
(2a + 2b + 2c)3 = 12 + (2a + b - c) 3+ (2b + c - a)3+ (2c + a - b) 3
Chứng minh rằng (a + 3b)(b + 3c)(c + 3a) = 4
Giúp mk nhanh vs ạ
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
6 tháng 8 2023
Đặt \(3a+b-c=x;3b+c-a=y;3c+a-b=z\)
\(\Rightarrow27\left(a+b+c\right)^3=\left[3\left(a+b+c\right)\right]^3=\left(x+y+z\right)^3\)
Biểu thức đã cho trở thành:
\(\left(x+y+z\right)^3=x^3+y^3+z^3+24\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3=24\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^3-\left(x+y\right)^3+3xy\left(x+y\right)-z^3=24\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^3-\left(x+y+z\right)^3+3xy\left(x+y\right)+3\left(x+y\right)z\left(x+y+z\right)=24\)
\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(z^2+xy+yz+zx\right)=24\)
\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left[z\left(y+z\right)+x\left(y+z\right)\right]=24\)
\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=24\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=8\)
\(\Leftrightarrow\left(3a+b-c+3b+c-a\right)\left(3b+c-a+3c+a-b\right)\left(3a+b-c+3c+a-b\right)=8\)
\(\Leftrightarrow\left(2a+4b\right)\left(2b+4c\right)\left(2c+4a\right)=8\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+2b\right).2\left(b+2c\right).2\left(c+2a\right)=8\)
\(\Leftrightarrow8\left(a+2b\right)\left(b+2c\right)\left(c+2a\right)=8\)
\(\Leftrightarrow\left(a+2b\right)\left(b+2c\right)\left(c+2a\right)=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 4 2022
\(\dfrac{ab}{a+3b+2c}=\dfrac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{ab}{2b}\right)\)
\(=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{a}{2}\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{bc}{b+3c+2a}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}+\dfrac{b}{2}\right)\)
\(\dfrac{ac}{c+3a+2b}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{ac}{b+c}+\dfrac{ac}{a+b}+\dfrac{c}{2}\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{bc+ac}{a+b}+\dfrac{bc+ab}{a+c}+\dfrac{ab+ac}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{2}\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{9}.\left(a+b+c+\dfrac{a+b+c}{2}\right)=\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
T
1 tháng 5 2020
đặt\(\hept{\begin{cases}3a+b-c=x\\3b+c-a=y\\3c+a-b=z\end{cases}}\)
Khi đó điều kiện đb tương ứng
(x+y+z)3=24+x3+y3+z3(x+y+z)3=24+x3+y3+z3
⇔3(x+y)(x+z)(x+z)=24⇔3(x+y)(x+z)(x+z)=24
⇒3(2a+4b)(2b+4c)(2c+4a)=24⇒3(2a+4b)(2b+4c)(2c+4a)=24
⇒(a+2b)(b+2c)(c+2a)=1⇒(a+2b)(b+2c)(c+2a)=1
Do đó ta có đpcm
Chúc bạn học tốt!
21 tháng 10 2019
Câu hỏi của Hoàng Đức Thịnh - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
T
20 tháng 10 2019
Đặt \(\hept{\begin{cases}3a+b-c=x\\3b+c-a=y\\3c+a-b=z\end{cases}}\)
Khi đó điều kiện đb tương ứng
\(\left(x+y+z\right)^3=24+x^3+y^3+z^3\)
\(\Leftrightarrow3.\left(x+y\right).\left(x+z\right).\left(x+z\right)=24\)
\(\Rightarrow3.\left(2a+4b\right).\left(2b+4c\right).\left(2c+4a\right)=24\)
\(\Rightarrow\left(a+2b\right).\left(b+2c\right).\left(c+2a\right)=1\)
Do đó ta có đpcm
Chúc bạn học tốt!
lol