cho a>b>0
chứng minh rằng
\(\sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{2ab-b^2}>a\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NA
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 8 2020
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
Câu hỏi của nguyễn minh - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
KK
0
30 tháng 5 2023
2:
\(VT=\dfrac{a^2b}{a-b}\cdot\dfrac{2\sqrt{2}\left(a-b\right)}{5\sqrt{3}\cdot a^2\sqrt{b}}=\dfrac{2}{15}\cdot\sqrt{6b}=VP\)
1: \(=9\sqrt{ab}+\dfrac{7\sqrt{ab}}{b}-\dfrac{5\sqrt{ab}}{a}-3\sqrt{ab}=\)6căn ab+căn ab(7/b-5/a)
=căn ab(6+7/b-5/a)
14 tháng 9 2020
Với a,b > = 0 và a + b = a2b2
Ta có:
\(VT=\sqrt{a+b+4\sqrt{a+b+2ab+1}}=\sqrt{a^2b^2+4\sqrt{a^2b^2+2ab+1}}\)
\(=\sqrt{a^2b^2+4\sqrt{\left(ab+1\right)^2}}=\sqrt{a^2b^2+4\left(ab+1\right)}\)
\(=\sqrt{a^2b^2+4ab+4}=\sqrt{\left(ab+2\right)^2}=ab+2=VP\)
=> đpcm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 6 2019
a/
\(=\frac{a+b}{b^2}.\frac{\left|a\right|.b^2}{\left|a+b\right|}=\frac{\left(a+b\right).b^2.\left|a\right|}{b^2\left(a+b\right)}=\left|a\right|\)
b/
\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}-\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}+\frac{4b}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{4\sqrt{ab}+4b}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}=\frac{2\sqrt{b}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}=\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
\(\sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{2ab-b^2}>a\)
Có: \(\hept{\begin{cases}a^2-b^2>0\\2a-b^2>0\\a;b>0\end{cases}\Leftrightarrow a>b>0.}\)
\(\sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{2ab-b^2}>a\)(1)
<=> \(\sqrt{2ab-b^2}>a-\sqrt{a^2-b^2}\)
<=> \(2ab-b^2>a^2-2a\sqrt{a^2-b^2}+a^2-b^2\)
<=> \(b>a-\sqrt{a^2-b^2}\)
<=> \(a-b-\sqrt{a^2-b^2}< 0\)
<=> \(\sqrt{a-b}\left(\sqrt{a-b}-\sqrt{a+b}\right)< 0\)đúng vì \(\sqrt{a-b}-\sqrt{a+b}< 0\)
=> (1) đúng.
Chia hai vế cho a, bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:
\(\sqrt{1-\left(\frac{b}{a}\right)^2}+\sqrt{2\left(\frac{b}{a}\right)-\left(\frac{b}{a}\right)^2}>1\)
Đặt \(\frac{b}{a}=x\Rightarrow0< x< 1\). Ta cần chứng minh:
\(\sqrt{1-x^2}+\sqrt{2x-x^2}>1\)
\(\Leftrightarrow2x-2x^2+2\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(2x-x^2\right)}>0\) (bình phương 2 vế)
\(\Leftrightarrow2x\left(1-x\right)+2\sqrt{x\left(1-x\right)\left(1+x\right)\left(2-x\right)}>0\) (đúng)
Ta có đpcm.