K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

13 tháng 10 2016

đi ,nt ,mình giải cho

13 tháng 10 2016

nt là gì

30 tháng 11 2019

Nguyễn Việt Lâm anh làm bài này giúp em với ạ

30 tháng 11 2019

Akai Haruma giúp em bài trên với ạ

5 tháng 12 2018

SCó :\(A=\) \(\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}\)=\(\sqrt{\frac{1}{1+\left(\frac{b+c}{a}\right)^3}}\) ( chia tử mẫu cho \(a^3\) )     =\(\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{b+c}{a}\right)^3}}\) 
Lại có\(\sqrt{1+\left(\frac{b+c}{a}\right)^3}\)  =\(\sqrt{\left(1+\frac{b+c}{a}\right)\left[1-\frac{b+c}{a}+\left(\frac{b+c}{a}\right)^2\right]}\)( hằng đẳng thức )
                                                  \(\le\)\(\frac{2+\left(\frac{b+c}{a}\right)^2}{2}\)( áp dụng \(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\))
Nên \(\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{b+c}{a}\right)^3}}\ge\frac{2}{2+\left(\frac{b+c}{a}\right)^2}\)\(=\frac{2a^2}{2a^2+\left(b+c\right)^2}\ge\frac{2a^2}{2a^2+2b^2+2c^2}\)( vì \(\left(b+c\right)^2\le2b^2+2c^2\)) . TỪ ĐÓ SUY RA :
\(A=\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}\ge\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Cmtt có : \(B=\sqrt[]{\frac{b^3}{b^3+\left(c+a\right)^3}}\ge\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2}\)
        
                 \(C=\sqrt{\frac{c^3}{c^3+\left(a+b\right)^3}}\ge\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}\)
VẬY \(A+B+C\ge1\)

 

29 tháng 11 2018

Giải hộ tớ với

19 tháng 11 2019

Áp dụng BĐT AM - GM:

\(\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}=\sqrt{\frac{1}{1+\frac{\left(a+c\right)^3}{a^3}}}=\sqrt{\frac{1}{\left(1+\frac{a+c}{a}\right)\left[1-\frac{a+c}{a}+\frac{\left(a+c\right)^2}{a^2}\right]}}\)

\(\ge\sqrt{\frac{4}{\left[1++\frac{a+c}{a}+1-\frac{a+c}{a}+\frac{\left(a+c\right)^2}{a^2}\right]^2}}\)

\(=\sqrt{\frac{4a^4}{\left[2a^2+\left(b+c\right)^2\right]^2}}=\frac{2a^2}{2a^2+\left(b+c\right)^2}\ge\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)

Tương tự ta chứng minh được:

\(\sqrt{\frac{b^3}{b^3+\left(c+a\right)^3}}\ge\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\sqrt{\frac{c^3}{c^3+\left(a+b\right)^3}}\ge\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}\)

Công vế với vế 3 bất đẳng thức trên ta được

\(\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+\left(c+a\right)^3}}\sqrt{\frac{c^3}{c^3+\left(a+b\right)^3}}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}=1\)

Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Mà đề bài có điều kiện a, b, c khác 0 không bạn

19 tháng 11 2019

@Nguyễn Việt Lâm

AH
Akai Haruma
Giáo viên
3 tháng 11 2019

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)\leq \left(\frac{a+1+a^2-a+1}{2}\right)^2=\left(\frac{a^2+2}{2}\right)^2\)

\(b^3+1\leq \left(\frac{b^2+2}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{(a^3+1)(b^3+1)}\leq \frac{(a^2+2)(b^2+2)}{4}\)

\(\Rightarrow \frac{a^2}{\sqrt{(a^3+1)(b^3+1)}}\geq \frac{4a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại:

\(\Rightarrow \text{VT}\geq \underbrace{\frac{4a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}+\frac{4b^2}{(b^2+2)(c^2+2)}+\frac{4c^2}{(c^2+2)(a^2+2)}}_{M}\)

Ta cần CM \(M\geq \frac{4}{3}\)

\(\Leftrightarrow \frac{a^2(c^2+2)+b^2(a^2+2)+c^2(b^2+2)}{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)}\geq \frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+6(a^2+b^2+c^2)\geq (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\)

\(\Leftrightarrow 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+6(a^2+b^2+c^2)\geq (abc)^2+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+4(a^2+b^2+c^2)+8\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2(a^2+b^2+c^2)\geq 72\)

Điều này luôn đúng do theo BĐT AM-GM thì: \(\left\{\begin{matrix} a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq 3\sqrt[3]{(abc)^4}=3\sqrt[3]{8^4}=48\\ 2(a^2+b^2+c^2)\geq 6\sqrt[3]{(abc)^2}=6\sqrt[3]{8^2}=24\end{matrix}\right.\)

Do đó ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$

25 tháng 5 2020

Sử dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\sqrt{1+x^3}=\sqrt{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\le\frac{x^2-x+1+x+1}{2}=\frac{x^2+2}{2}\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=2\end{cases}}\)

Ta có \(\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{b+c}{a}\right)^2}}\ge\frac{2}{\left(\frac{b+c}{a}\right)^2+2}\)

\(=\frac{2a^2}{2a^2+\left(b+c\right)^2}\ge\frac{2a^2}{2a^2+2\left(b^2+c^2\right)}=\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)

Tương tự có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{b^3}{b^3+\left(a+c\right)^3}}\ge\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2}\\\sqrt{\frac{c^3}{c^3+\left(a+c\right)^3}}\ge\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}\end{cases}}\)

Cộng 3 vế BĐT trên ta được đpcm

Dấu "=" <=> a=b=c

24 tháng 11 2017

chia mỗi phân thức cho tử đi bạn nhé

18 tháng 10 2020

Xét bất đẳng thức phụ\(\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}\ge\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow2a^2\left(b^2+c^2\right)+\left(b^2+c^2\right)^2\ge a\left(b+c\right)^3\)

Áp dụng kết hợp bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức và bất đẳng thức AM - GM, ta được: \(2a^2\left(b^2+c^2\right)+\left(b^2+c^2\right)^2\ge a^2\left(b+c\right)^2+\frac{\left(b+c\right)^4}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2\left(b+c\right)^6}{4}}=\left(b+c\right)^3\)

Vậy bất đẳng thức phụ trên là đúng. Tương tự rồi cộng lại ta được \(VT\ge1\)

Đẳng thức xảy ra khi 3 biến bằng nhau hoặc có 2 biến dần về 0