Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(x=\frac{b+c}{a}>0\) .Ta cần CM:
\(\sqrt{1+x^3}\le1+\frac{1}{2}x^2\Leftrightarrow\left(x^2+2\right)^2\ge4\left(x^3+1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^4-4x^3+4x^2\ge0\Leftrightarrow x^2\left(x-2\right)^2\ge0\)
BĐT cuối đúng => đpcm
ĐT xảy ra<=> \(b+c=2a\)
Làm tiếp:)
Ta có: \(\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}\ge\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2};\)
\(\sqrt{\frac{b^3}{b^3+\left(c+a\right)^3}}\ge\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\sqrt{\frac{c^3}{c^3+\left(a+b\right)^3}}\ge\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta đc đpcm .
ĐT xảy ra<=> a=b=c
Sử dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{1+x^3}=\sqrt{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\le\frac{x^2-x+1+x+1}{2}=\frac{x^2+2}{2}\)
Đẳng thức xảy ra <=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=2\end{cases}}\)
Ta có \(\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{b+c}{a}\right)^2}}\ge\frac{2}{\left(\frac{b+c}{a}\right)^2+2}\)
\(=\frac{2a^2}{2a^2+\left(b+c\right)^2}\ge\frac{2a^2}{2a^2+2\left(b^2+c^2\right)}=\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Tương tự có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{b^3}{b^3+\left(a+c\right)^3}}\ge\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2}\\\sqrt{\frac{c^3}{c^3+\left(a+c\right)^3}}\ge\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}\end{cases}}\)
Cộng 3 vế BĐT trên ta được đpcm
Dấu "=" <=> a=b=c
Với x là số dương, áp dụng bđt cauchy ta có:
\(\sqrt{x^3+1}=\sqrt{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\le\frac{x+1+x^2-x+1}{2}=\frac{x^2+2}{2}\)
=> \(\sqrt{\frac{1}{x^3+1}}\ge\frac{2}{x^2+2}\left(1\right)\)
Áp dụng bđt (1) ta được:
\(\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}=\sqrt{\frac{1}{1+\left(\frac{b+c}{a}\right)^3}}\ge\frac{2}{\left(\frac{b+c}{a}\right)^2+2}=\frac{2a^2}{\left(b+c\right)^2+2a^2}\)
Suy ra \(\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}\ge\frac{2a^2}{2\left(b^2+c^2\right)+2a^2}=\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\left(2\right)\)
Tương tự ta có: \(\sqrt{\frac{b^3}{b^3+\left(c+a\right)^3}}\ge\frac{b^3}{a^3+b^3+c^3}\left(3\right);\sqrt{\frac{c^3}{c^3+\left(a+b\right)^3}}\ge\frac{c^3}{a^3+b^3+c^3}\left(4\right)\)
Cộng (2),(3),(4) vế theo vế:
\(VT\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Câu 1 chuyên phan bội châu
câu c hà nội
câu g khoa học tự nhiên
câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ
câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)
Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !
Câu c quen thuộc, chém trước:
Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)
Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)
\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)
Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)
Done.
Xét bất đẳng thức phụ\(\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}\ge\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow2a^2\left(b^2+c^2\right)+\left(b^2+c^2\right)^2\ge a\left(b+c\right)^3\)
Áp dụng kết hợp bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức và bất đẳng thức AM - GM, ta được: \(2a^2\left(b^2+c^2\right)+\left(b^2+c^2\right)^2\ge a^2\left(b+c\right)^2+\frac{\left(b+c\right)^4}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2\left(b+c\right)^6}{4}}=\left(b+c\right)^3\)
Vậy bất đẳng thức phụ trên là đúng. Tương tự rồi cộng lại ta được \(VT\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi 3 biến bằng nhau hoặc có 2 biến dần về 0
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)\leq \left(\frac{a+1+a^2-a+1}{2}\right)^2=\left(\frac{a^2+2}{2}\right)^2\)
\(b^3+1\leq \left(\frac{b^2+2}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{(a^3+1)(b^3+1)}\leq \frac{(a^2+2)(b^2+2)}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{a^2}{\sqrt{(a^3+1)(b^3+1)}}\geq \frac{4a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại:
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \underbrace{\frac{4a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}+\frac{4b^2}{(b^2+2)(c^2+2)}+\frac{4c^2}{(c^2+2)(a^2+2)}}_{M}\)
Ta cần CM \(M\geq \frac{4}{3}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^2(c^2+2)+b^2(a^2+2)+c^2(b^2+2)}{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)}\geq \frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+6(a^2+b^2+c^2)\geq (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\)
\(\Leftrightarrow 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+6(a^2+b^2+c^2)\geq (abc)^2+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+4(a^2+b^2+c^2)+8\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2(a^2+b^2+c^2)\geq 72\)
Điều này luôn đúng do theo BĐT AM-GM thì: \(\left\{\begin{matrix} a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq 3\sqrt[3]{(abc)^4}=3\sqrt[3]{8^4}=48\\ 2(a^2+b^2+c^2)\geq 6\sqrt[3]{(abc)^2}=6\sqrt[3]{8^2}=24\end{matrix}\right.\)
Do đó ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$
