chứng minh a\(\sqrt{b-1}\) + b\(\sqrt{a-1}\) ≤ab
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
BN
4 tháng 7 2023
a, \(VT=\dfrac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}.\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=a-b=VP\) đpcm
b,\(VT=1-\dfrac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}+\dfrac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}-\dfrac{a^2-a}{a-1}=1-\sqrt{a}+\sqrt{a}-a=1-a=VP\) đpcm
19 tháng 5 2022
\(\left(\dfrac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}\right):\left(a-b\right)+\dfrac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=1\)
\(VT=\dfrac{\left(a-\sqrt{ab}+b-\sqrt{ab}\right)}{a-b}+\dfrac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)
\(=\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{a-b}+\dfrac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}+2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=1=VP\)
13 tháng 11 2021
Câu b bạn sửa lại đề
\(a,VT=\left[1+\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}\right]\left[1-\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-1}\right]\\ =\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1-\sqrt{x}\right)=1-x=VP\\ b,VT=\dfrac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}+\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\\ =\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{a}+\sqrt{b}=2\sqrt{a}=VP\)
13 tháng 11 2021
a: \(=\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1-\sqrt{x}\right)=1-x\)
PV
1
KT
30 tháng 7 2018
ĐK: \(a,b\ge0\); \(a\ne b\)
\(VT=\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}:\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}:\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)
\(=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
\(=a-b=VP\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 5 2020
\(\sqrt{a+bc}=\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge\sqrt{\left(a+\sqrt{bc}\right)^2}=a+\sqrt{bc}\)
Tương tự: \(\sqrt{b+ac}\ge b+\sqrt{ac}\) ; \(\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow VT\ge a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}\)
\(\Rightarrow VT\ge a+b+c=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{b-1}}{b}+\frac{\sqrt{a-1}}{a}\le1\)
Áp dụng BĐT Cô-si :
\(\sqrt{b-1}=\sqrt{1\cdot\left(b-1\right)}\le\frac{1+b-1}{2}=\frac{b}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{b-1}}{b}\le\frac{\frac{b}{2}}{b}=\frac{1}{2}\)
Chứng minh tương tự \(\frac{\sqrt{a-1}}{a}\le\frac{1}{2}\)
Cộng theo vế ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=2\)