cho tam giác ABC .Trên các đường thẳng BC,AC,AB lần lượt lấy các điểm M,N,P sao cho vecto MB=3 vecto MC ,NA= 3vecto CN , vecto PA+vecto PB = vecto 0
a. tính vecto PM,vecto PN theo vecto AB , vecto AC
b. CM :M,N,P thẳng hàng
CẢM ƠN MỌI NGƯỜI
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
13 tháng 11 2023
\(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CP}\)
\(=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}\)
\(=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}\)
\(\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AM}\)
\(=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)
\(=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right)\)
\(=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}\)
5 tháng 10 2023
Trước hết ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 1: Cho tam giác ABC và 1 điểm M trên cạnh BC. Khi đó: \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{MC}{BC}\overrightarrow{AB}+\dfrac{MB}{BC}\overrightarrow{AC}\)
Thật vậy, ta có \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\)
\(=\overrightarrow{AB}+\dfrac{BM}{BC}\overrightarrow{BC}\)
\(=\overrightarrow{AB}+\dfrac{BM}{BC}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\)
\(=\left(1-\dfrac{BM}{BC}\overrightarrow{AB}\right)+\dfrac{BM}{BC}\overrightarrow{AC}\)
\(=\dfrac{CM}{BC}\overrightarrow{AB}+\dfrac{BM}{BC}\overrightarrow{AC}\), bổ đề 1 được chứng minh.
Gọi P là giao điểm của AI và BC. Ta có:
\(\dfrac{MA}{MB}.\dfrac{PB}{PC}.\dfrac{NC}{NA}=1\) \(\Rightarrow x.\dfrac{PB}{PC}.\dfrac{1}{y}=1\) \(\Rightarrow\dfrac{PB}{PC}=\dfrac{y}{x}\) \(\Rightarrow\dfrac{CP}{CB}=\dfrac{x}{x+y}\)
Mặt khác, \(\dfrac{IP}{IA}.\dfrac{MA}{MB}.\dfrac{CB}{CP}=1\) \(\Rightarrow\dfrac{IP}{IA}.x.\dfrac{x+y}{x}=1\) \(\Rightarrow\dfrac{IP}{IA}=\dfrac{1}{x+y}\)
Do đó \(\overrightarrow{AI}=\left(x+y\right)\overrightarrow{IP}\)
Mà theo bổ đề 1: \(\overrightarrow{IP}=\dfrac{PC}{BC}\overrightarrow{IB}+\dfrac{PB}{BC}\overrightarrow{IC}\)
\(=\dfrac{x}{x+y}\overrightarrow{IB}+\dfrac{y}{x+y}\overrightarrow{IC}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AI}=x\overrightarrow{IB}+y\overrightarrow{IC}\) (đpcm)
