Question

[Trần Huy tâm]

chứng minh

\(\left(a+b\right)^n=\sum\limits^n_{k=0}\cdot C^k_n\cdot a^{n-k}\cdot b^k\left(\forall2\le n;n\in Z\right)\)

gợi ý

dùng \(C^k_n+c^{k+1}_n=c^{k+1}_{n+1}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Ta thực hiện chứng minh đẳng thức trên đúng bằng quy nạp

Với $n=2$: \((a+b)^=a^2+2ab+b^2=C^0_2a^2b^0+C^1_2ab+C^2_2a^0b^2\) (đúng)

................

Giả sử đẳng thức đúng đến $n=t$ $(t\in\mathbb{Z}>2$), tức là \((a+b)^t=\sum ^t_{k=0}C^k_ta^{t-k}b^k\)

Ta cần chứng minh nó cũng đúng với $n=t+1$. Thật vậy:

\((a+b)^{t+1}=(a+b)^t(a+b)=(a+b)\sum ^{t}_{k=0}a^{t-k}b^k\)

\(=C^0_ta^{t+1}+(C^1_t+C^0_t)a^tb+(C^2_t+C^1_t)a^{t-1}b^2+....+(C^t_t+C^{t-1}_t)ab^t+C^t_tb^{t+1}\)

\(=C^0_{t+1}a^{t+1}+C^1_{t+1}a^tb+C^2_{t+1}a^{t-1}b^2+....+C^t_{t+1}ab^t+C^{t+1}_{t+1}b^{t+1}\) (sử dụng đẳng thức \(C^k_n+C^{k+1}_n=C^{k+1}_{n+1}\) và \(C^0_t=C^0_{t+1}=1; C^t_t=C^{t+1}_{t+1}=1\))

\(=\sum ^{t+1}_{k=0}C^{k}_{t+1}a^{t+1-k}b^k\)

Phép chứng minh hoàn tất. Ta có đpcm.

Answer 2

[Trần Huy tâm]

chị Akai Haruma giúp em với