Tìm tất cả các số nguyên x sao cho: \(A=x^3+3x^2+x+3\)là lũy thừa số nguyên tố.
Bài này ở diễn đàn toán học nước ngoài thấy hay nên share.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 3 2022
\(P=n^3+7n^2+25n+39=\left(n+3\right)\left(n^2+4n+13\right)\)
Hiển nhiên \(\left\{{}\begin{matrix}n+3>1\\n^2+4n+13>1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+3=p^a\\n^2+4n+13=p^b\end{matrix}\right.\) với \(b>a>0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+3⋮p\\n^2+4n+13⋮p\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow n^2+4n+13-\left(n+3\right)\left(n+1\right)⋮p\)
\(\Rightarrow10⋮p\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}p=2\\p=5\end{matrix}\right.\)
- TH1: \(p=2\Rightarrow n+3=2^a\)
Do n nguyên dương \(\Rightarrow n+3\ge4\Rightarrow a\ge2\Rightarrow2^a⋮4\)
\(\Rightarrow n+3⋮4\Rightarrow n=4k+1\)
Đồng thời \(n^2+4n+13=2^b\), hiển nhiên \(b>2\Rightarrow n^2+4n+13⋮4\)
\(\Rightarrow\left(4k+1\right)^2+4\left(4k+1\right)+13⋮4\)
\(\Rightarrow4k\left(4k+6\right)+18⋮4\) (vô lý)
\(\Rightarrow p=2\) không thỏa mãn
TH2: \(p=5\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+3=5^a\\n^2+4n+13=5^b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(n+1\right)\left(n+3\right)+10=5^b\)
\(\Rightarrow5^a\left(5^a-2\right)+10=5^b\)
\(\Rightarrow5^{a-1}\left(5^a-2\right)+2=5^{b-1}\)
- Với \(a=1\Rightarrow b=2\)
- Với \(a>1\Rightarrow\) vế trái chia 5 dư 2, vế phải chia hết cho 5
\(\Rightarrow\) Không tồn tại a;b nguyên thỏa mãn
Vậy \(a=1\Rightarrow n=5^1-3=2\)
NH
0
HN
1
LL
15 tháng 4 2019
Gọi n!+5=x3 (n,x thuộc N)
Xét n từ 0 đến 9: Chỉ có số 5 thỏa mãn điều kiện.
Xét n lớn hơn 10: Khi đó n! sẽ có ít nhất 2 thừa số 5 và 5 thừa số 2 => Sẽ có đuôi là 00 => n!+5 có đuôi là 05=> n!+5 chia hết cho 5=> x3 chia hết cho 5=> x chỉ có đuôi là 5 => x3 có đuôi là 25 hoặc 75=> không có số nào thỏa mãn đk.
Vậy n=5.
26 tháng 2 2021
Bài 1:
Nếu p = 2 thì p + 2 = 2 + 2 = 4 không là số nguyên tố
2 + 4 = 6 không là số nguyên tố
Vậy p = 2 không thỏa mãn
Nếu p = 3 thì p + 2 = 3 + 2 = 5 là số nguyên tố
3 + 4 = 7 là số nguyên tố
Vậy p = 3 thỏa mãn
Nếu p > 3 thì p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2
Khi p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) không là số nguyên tố
Vậy p = 3k + 1 không thỏa mãn
Khi p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) không là số nguyên tố
Vậy p = 3k + 2 không thỏa mãn
Vậy p = 3 thỏa mãn duy nhất.
26 tháng 2 2021
Bài 2:
Khi ta xét 3 số tự nhiên liên tiếp 4p; 4p + 1; 4p + 2 thì chắc chắn sẽ có một số chia hết cho 3
p là số nguyên tố; p > 3 nên p không chia hết cho 3 => 4p không chia hết cho 3
Ta thấy 2p + 1 là số nguyên tố; p > 3 => 2p + 1 > 3 nên 2p + 1 không chia hết cho 3 => 2(2p + 1) không chia hết cho 3 -> 4p + 2 không chia hết cho 3
Vì thế 4p + 1 phải chia hết cho 3
Mà p > 3 nên 4p + 1 > 3
=> 4p + 1 không là số nguyên tố. 4p + 1 là hợp số.
2T
0
LK
0
Ta có \(A=\left(x+3\right)\left(x^2+1\right)\)
Mà A là lũy thừa số nguyên tố
=> \(\orbr{\begin{cases}x^2+1⋮x+3\\x+3⋮x^2+1\end{cases}}\)
+ Nếu \(x+3\ge x^2+1\)
=> \(-1\le x\le2\)
Thay vào ta được \(x=\left\{-1,0,1,2\right\}\)thỏa mãn đề bài
+ Nếu \(x+3< x^2+1\)
=> \(\orbr{\begin{cases}x>2\\x< -1\end{cases}}\)
=> \(x^2+1=k\left(x+3\right)\)với k là số nguyên
=> \(k=\frac{x^2+1}{x+3}=\frac{x^2-9+10}{x+3}=x-3+\frac{10}{x+3}\)là số nguyên
=> \(x+3\in\left\{\pm1,\pm2,\pm5,\pm10\right\}\)
=> \(x\in\left\{-13,-8,-5,-4,-2,-1,2,7\right\}\)
Kết hợp với ĐK và thay vào ta được
\(x\in\left\{-2,-1,0,1,2\right\}\)
Em nhầm xin lỗi