K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Y
6 tháng 5 2019

+ a + b + c = 0 \(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)

+ \(a^4+b^4+c^4=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

\(=\left[-2\left(ab+bc+ca\right)\right]^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

\(=4\left(ab+bc+ca\right)^2-2\left[\left(ab+bc+ca\right)^2-2\left(ab^2c+a^2bc+abc^2\right)\right]\)

\(=2\left(ab+bc+ca\right)^2+4\left(ab^2c+abc^2+a^2bc\right)\)

\(=2\left(ab+bc+ca\right)^2+4abc\left(a+b+c\right)\)

\(=2\left(ab+bc+ca\right)^2\)

27 tháng 7 2023

Ta có :

\(\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=\left[-2\left(ab+bc+ca\right)\right]^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2\right)\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\right)-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\left(2\right)\) (vì \(a+b+c=0\))

\(\left(1\right)+\left(2\right)\Rightarrow2\left(a^4+b^4+c^4\right)=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2\right)\)

\(\Rightarrow\left(a^4+b^4+c^4\right)=2\left(ab+bc+ca\right)^2\)

\(\Rightarrow dpcm\)

29 tháng 1 2017

          a+b+c = 0

 \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)

=>    \(a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)

=> \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

                                     \(=4\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\right]\)

=> \(a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

=> \(a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

                              \(=2\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\right]\)  ( do a+b+c = 0 )

                          \(=2\left(ab+bc+ca\right)^2\)  (HĐT)

6 tháng 8 2016

a) a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc

=> 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2ac + 2bc

=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0

=> (a2 - 2ab + b2) + (a2 - 2ac + c2) + (b2 - 2bc + c2) = 0

=> (a - b)2 + (a - c)2 + (b - c)2 = 0 

Do 3 hạng tử trên đều có giá trị lớn hơn hoặc bằng 0 nên a - b = a - c = b - c = 0

=> a = b = c 

6 tháng 8 2016

b) a3 + b3 + c3 = 3abc

=> a3 + b3 + c3 - 3abc = 0

=> a3 + 3a2b + 3ab+ b3 + c3 - 3abc - 3a2b - 3ab2 = 0

=> (a + b)3 + c3 - 3ab(a + b + c) = 0

=> (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 - bc - ac + c2) - 3ab(a + b + c) = 0

=> (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac) = 0 

=> a + b + c = 0

hoặc a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac =>  a = b = c

16 tháng 11 2019

Ta có : a + b + c = 0

( a + b + c )\(^2\) = 0

\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0\)

Nên : \(a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=4\left(ab+bc+ca\right)^2\)

\(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=4\left(ab+bc+ca\right)^2\)

\(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2ab^2c+2abc^2+2a^2bc\right)\)

\(a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+8ab^2c+8abc^2+8a^2bc\)

\(a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+8abc\left(b+c+a\right)\)

\(a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\)

Lại có : \(2\left(ab+bc+ca\right)^2\)

\(=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2ab^2c+2abc^2+2a^2bc\right)\)

\(=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+4ab^2c+4abc^2+4a^2bc\)

\(=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+4abc\left(b+c+a\right)\)

\(=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\)

Vì : \(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=2a^2b^2+2b^2c^2=2c^2a^2\)

Vậy \(a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ca\right)^2\)

31 tháng 5 2017

b/ Ta có: \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\right)+\left(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)+\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\right]\)

\(\ge\frac{1}{2}.\left(\frac{2a}{c}+\frac{2b}{a}+\frac{2c}{b}\right)=\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\)

24 tháng 2 2017

a, Có: \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{ab+a+1}=\frac{a}{ab+a+abc}=\frac{1}{bc+b+1}\\\frac{a}{ab+a+1}=\frac{ac}{abc+ac+c}=\frac{ac}{ac+c+1}\end{cases}}\)

Tương tự cho 2 phân số còn lại sau đó cộng vế theo vế ta được:

\(3S=\frac{ab+a+1}{ab+a+1}+\frac{bc+b+1}{bc+b+1}+\frac{ca+c+1}{ca+c+1}=3\Leftrightarrow S=1\)

2, Chú ý: a+b+c=0 và a+b=-c

Xét: \(A=a^4+b^4+c^4=\left(a^2+b^2\right)^2+c^2-2a^2b^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

Mà: \(a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)=-2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)=\left(ab+bc+ca\right)^2\)

Vậy thay 2 biểu thức trên vào ta được: ĐPCM

c) Ta có: \(\Leftrightarrow\left(x^2+2x+1\right)-\left(y^2+4y+4\right)=7\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2-\left(y+2\right)^2=7\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)\left(x-y-1\right)=7\)

Do x,y>0 => x+y+3>x-y-1

Vậy pt <=> \(\hept{\begin{cases}x-y-1=1\\x+y+3=7\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x-y=2\\x+y=4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}}}\)

Vậy (x,y)=(3,1)

23 tháng 2 2017

câu a bổ sung : Biểu thức =1

1 tháng 10 2016

\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=0\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=4\left(ab+bc+ac\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=4\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\right]\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(ab+bc+ac\right)\right]\)\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ac\right)^2\)

26 tháng 4 2018

ta có (ab+ac)/2 = (ba+bc)/3 = (ca+cb)/4 

=ab+ac-ba-bc+ca+cb/2-3+4 = 2ac/3

=ab+ac+ba+bc-ca-cb/2+3-4 = 2ab

=ab+ac-ba-bc-ca-cb/2-3-4 = 2bc/5

=> 2ac/3=2ab=2bc/5

Ta có 2ac/3=2ab/1 =>c/3 = b/1 => c/15 = b/5    (1)

          2ac/3 = 2bc/5 => a/3 = b/5                         (2)

từ (1) và(2) => a/3 = b/5 = c/15

23 tháng 12 2018

bạn 2-3-4=5 ??

\(a+b+c=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ac\right)\)

Bình phương hai vế:

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=[-2\left(ab+bc+ac\right)]^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2=4\left(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2\right)\)(*)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=4[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)]-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)(**)

Từ (*) và (**):

\(2\left(a^4b^4c^4\right)=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2\right)\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ca\right)^2\)