Question

[Trí Nguyễn]

Giúp e bài này với. Cho số phức z=a+bi sao cho (z-4)/(z-4i) là số thuần ảo. Nếu số phức có môdun lớn nhất thì biểu thức P= a² + b² bằng

A.4 B.8 C.24 D.20

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(z\ne4i\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\b\ne4\end{matrix}\right.\)

\(\frac{z-4}{z-4i}=\frac{a-4+bi}{a+\left(b-4\right)i}=\frac{\left(a-4+bi\right)\left(a-\left(b-4\right)i\right)}{a^2-\left(b-4\right)^2}=\frac{a\left(a-4\right)+b\left(b-4\right)-\left[\left(a-4\right)\left(b-4\right)-ab\right]i}{a^2-\left(b-4\right)^2}\)

Số phức trên là thuần ảo khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}a\left(a-4\right)+b\left(b-4\right)=0\\\left(a-4\right)\left(b-4\right)-ab\ne0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2=8\\a+b-4\ne0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Tập hợp \(z\) là điểm \(M\left(a;b\right)\) thuộc đường tròn (C) tâm \(I\left(2;2\right)\) bán kính \(R=2\sqrt{2}\) và khác 2 điểm \(A\left(0;4\right)\) và \(B\left(4;0\right)\)

\(P=\left|z\right|^2=a^2+b^2=OM^2\)

\(P_{max}\) khi M trùng giao điểm của đường thẳng OI và đường tròn (giao điểm năm khác phía O so với I)

Phương trình OI: \(1\left(x-2\right)-1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x-y=0\)

Giao điểm của OI và (C): \(2\left(x-2\right)^2=8\Rightarrow\left(x-2\right)^2=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow M_1\left(0;0\right)\) (loại); \(M_2\left(4;4\right)\) \(\Rightarrow a=b=4\)

Không có kết quả?!

Answer 2

[Trí Nguyễn]

Hình như ra 24 a ơi :)). E viết nhầm P= a² +2b