Question

[Ag.Tzin^^]

Tìm n nguyên dương để A=\(\frac{n^2+3n}{8}\)là số nguên tố

Answer 1

[Lê Tài Bảo Châu]

Vì A là số tự nhiên \(\Rightarrow\) \(A=\frac{n^2+3n}{8}\in N\Rightarrow n^2+3n⋮8\)

                                                                       \(\Rightarrow n.\left(n+3\right)⋮8\)

Mặt khác (n+3) - n =3 là số lẻ \(\Rightarrow\) n+3 và n không cùng tính chẵn lẻ  

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n⋮8\\n+3⋮8\end{cases}}\)

   TH1 : \(n⋮8\Rightarrow n=8k\)( k \(\in\)N^* ) \(\Rightarrow A=\frac{\left(8k\right)^2+8k.3}{8}=8k^2+3k=k.\left(8k+3\right)\)

Mà A là số nguyên tố \(\Rightarrow\)k.(8k+3) là số nguyên tố (1)

Lại có k \(\in\) N^* \(\Rightarrow8k+3\in\)N^* 

                                    8k+3 > k kết hợp (1)

     \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}k=1\\8k+3laSNT\end{cases}\Rightarrow8k+3=8.1.3=11}\)là SNT ( t/m)

\(\Rightarrow n=8.1=8\)

TH2: \(n+3⋮8\Rightarrow n+3=8k\)( k \(\in\) N^* )

\(\Rightarrow n=8k-3\Rightarrow A=\frac{\left(8k-3\right)^2+3.\left(8k-3\right)}{8}\)

\(=\frac{\left(8k-3\right).\left(8k-3+3\right)}{8}=\frac{\left(8k-3\right).8k}{8}=k.\left(8k-3\right)\)

Mà A là SNT \(\Rightarrow k.\left(8k-3\right)\)là SNT (2)

Lại có : k\(\in\)N^*\(\Rightarrow k\ge1\Rightarrow8k-3\ge5>0\)

                  k \(\in\)N^* \(\Rightarrow8k-3\)\(\in\)Z                 ( ngoặc 2 dòng )

\(\Rightarrow8k-3\in\)N^*  kết hợp (2)

\(\Rightarrow\)+) k=1 và 8k-3 là SNT  \(\Rightarrow\)k=1 và 8k-3=8.1-3=5 là SNT \(\Rightarrow n=5\)

          +) 8k-3 =1 và k là SNT \(\Rightarrow\)k \(\notin\)N^* mà k là SNT ( loại )

Vậy \(n\in\left\{5;8\right\}\)

 ( lưu ý nhé có chỗ ko viết được TV nên tui ghi ko có dấu )

Answer 2

[Lê Tài Bảo Châu]

đợi chút mik làm cho