Tính giá trị của các biểu thức sau đây khi: \(3sin^4x+cos^4x=\dfrac{3}{4}\). Tính \(A=sin^4x+3cos^4x\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 12 2021
\(P=\sqrt{\left(1-cos^2x\right)^2+6cos^2x+3cos^4x}+\sqrt{\left(1-sin^2x\right)^2+6sin^2x+3sin^4x}\)
\(=\sqrt{4cos^4x+4cos^2x+1}+\sqrt{4sin^4x+4sin^2x+1}\)
\(=\sqrt{\left(2cos^2x+1\right)^2}+\sqrt{\left(2sin^2x+1\right)^2}\)
\(=2cos^2x+1+2sin^2x+1\)
\(=2\left(sin^2x+cos^2x\right)+2=4\)
5 tháng 7 2021
1,\(A=3\left(sin^4x+cos^4x\right)-2\left(sin^2x+cos^2x\right)\left(sin^4x-sin^2x.cos^2x+cos^4x\right)\)
\(=3\left(sin^4x+cos^4x\right)-2\left(sin^4x-sin^2x.cos^4x+cos^4x\right)\)
\(=sin^4x+2sin^2x.cos^2x+cos^4x=\left(sin^2x+cos^2x\right)^2=1\)
Vậy...
2,\(B=cos^6x+2sin^4x\left(1-sin^2x\right)+3\left(1-cos^2x\right)cos^4x+sin^4x\)
\(=-2cos^6x+3sin^4x-2sin^6x+3cos^4x\)
\(=-2\left(sin^2x+cos^2x\right)\left(sin^4x-sin^2x.cos^2x+cos^4x\right)+3\left(cos^4x+sin^4x\right)\)
\(=-2\left(sin^4x-sin^2x.cos^2x+cos^4x\right)+3\left(cos^4x+sin^4x\right)\)\(=cos^4x+sin^4x+2sin^2x.cos^2x=1\)
Vậy...
3,\(C=\dfrac{1}{2}\left[cos\left(-\dfrac{7\pi}{12}\right)+cos\left(2x-\dfrac{\pi}{12}\right)\right]+\dfrac{1}{2}\left[cos\left(-\dfrac{7\pi}{12}\right)+cos\left(2x+\dfrac{11\pi}{12}\right)\right]\)
\(=cos\left(-\dfrac{7\pi}{12}\right)+\dfrac{1}{2}\left[cos\left(2x-\dfrac{\pi}{12}\right)+cos\left(2x+\dfrac{11\pi}{12}\right)\right]\)\(=\dfrac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\dfrac{1}{2}\left[cos\left(2x-\dfrac{\pi}{12}\right)+cos\left(2x-\dfrac{\pi}{12}+\pi\right)\right]\)
\(=\dfrac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\dfrac{1}{2}\left[cos\left(2x-\dfrac{\pi}{12}\right)-cos\left(2x-\dfrac{\pi}{12}\right)\right]\)\(=\dfrac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
Vậy...
4, \(D=cos^2x+\left(-\dfrac{1}{2}cosx-\dfrac{\sqrt{3}}{2}sinx\right)^2+\left(-\dfrac{1}{2}.cosx+\dfrac{\sqrt{3}}{2}.sinx\right)^2\)
\(=cos^2x+\dfrac{1}{4}cos^2x+\dfrac{\sqrt{3}}{4}cosx.sinx+\dfrac{3}{4}sin^2x+\dfrac{1}{4}cos^2x-\dfrac{\sqrt{3}}{4}cosx.sinx+\dfrac{3}{4}sin^2x\)
\(=\dfrac{3}{2}\left(cos^2x+sin^2x\right)=\dfrac{3}{2}\)
Vậy...
5, Xem lại đề
6,\(F=-cosx+cosx-tan\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right).cot\left(\pi+\dfrac{\pi}{2}-x\right)\)
\(=tan\left(\pi-\dfrac{\pi}{2}-x\right).cot\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\)\(=tan\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right).cot\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\)\(=cotx.tanx=1\)
Vậy...
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 4 2020
\(3sin^4x-\left(1-sin^2x\right)^2=\frac{1}{2}\Leftrightarrow3sin^4x-\left(sin^4x-2sin^2x+1\right)=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow2sin^4x+2sin^2x-\frac{3}{2}=0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}sin^2x=\frac{1}{2}\\sin^2x=-\frac{3}{2}< 0\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow cos^2x=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow B=\left(\frac{1}{2}\right)^2+3\left(\frac{1}{2}\right)^2=1\)
\(4sin^4x+3\left(1-sin^2x\right)^2=\frac{7}{4}\Leftrightarrow4sin^4x+3\left(sin^4x-2sin^2x+1\right)=\frac{7}{4}\)
\(\Leftrightarrow7sin^4x-6sin^2x+\frac{5}{4}=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}sin^2x=\frac{1}{2}\Rightarrow cos^2x=\frac{1}{2}\\sin^2x=\frac{5}{14}\Rightarrow cos^2x=\frac{9}{14}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}C=3\left(\frac{1}{2}\right)^2+4\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{7}{4}\\C=3\left(\frac{5}{14}\right)^2+4\left(\frac{9}{14}\right)^2=\frac{57}{28}\end{matrix}\right.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 6 2020
\(B=cos^2x.cot^2x+cos^2x-cot^2x+2\left(sin^2x+cos^2x\right)\)
\(=cos^2x\left(cot^2x+1\right)-cot^2x+2\)
\(=\frac{cos^2x}{sin^2x}-cot^2x+1=cot^2x-cot^2x+1=1\)
\(M=cos^4x-sin^4x+cos^4x+sin^2x.cos^2x+3sin^2x\)
\(=\left(cos^2x-sin^2x\right)\left(cos^2x+sin^2x\right)+cos^2x\left(cos^2x+sin^2x\right)+3sin^2x\)
\(=cos^2x-sin^2x+cos^2x+3sin^2x\)
\(=2\left(sin^2x+cos^2x\right)=2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 2 2021
\(sinx+cosx=m\Leftrightarrow\left(sinx+cosx\right)^2=m^2\)
\(\Leftrightarrow1+2sinx.cosx=m^2\Rightarrow sinx.cosx=\dfrac{m^2-1}{2}\)
\(A=sin^2x+cos^2x=1\)
\(B=sin^3x+cos^3x=\left(sinx+cosx\right)^3-3sinx.cosx\left(sinx+cosx\right)\)
\(=m^3-\dfrac{3m\left(m^2-1\right)}{2}=\dfrac{2m^3-3m^3+3m}{2}=\dfrac{3m-m^3}{2}\)
\(C=\left(sin^2+cos^2x\right)^2-2\left(sinx.cosx\right)^2=1-2\left(\dfrac{m^2-1}{2}\right)^2\)
\(D=\left(sin^2x\right)^3+\left(cos^2x\right)^3=\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3\left(sin^2x+cos^2x\right)\left(sinx.cosx\right)^2\)
\(=1-3\left(\dfrac{m^2-1}{2}\right)^2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 3 2019
Giả sử các biểu thức đều có nghĩa
\(A=2\left(\left(sin^2x\right)^3+\left(cos^2x\right)^3\right)-3\left(sin^4x+cos^4x+2sin^2xcos^2x-2sin^2xcos^2x\right)\)
\(A=2\left(sin^2x+cos^2x\right)\left(\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-3sin^2xcos^2x\right)-3\left(\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-2sin^2xcos^2x\right)\)
\(A=2\left(1-3sin^2xcos^2x\right)-3\left(1-2sin^2xcos^2x\right)\)
\(A=2-6sin^2xcos^2x-3+6sin^2xcos^2x=-1\)
b/ \(B=\dfrac{1+cotx}{1-cotx}-\dfrac{2}{tanx-1}=\dfrac{1+cotx}{1-cotx}-\dfrac{2}{\dfrac{1}{cotx}-1}\)
\(B=\dfrac{1+cotx}{1-cotx}-\dfrac{2cotx}{1-cotx}=\dfrac{1+cotx-2cotx}{1-cotx}=\dfrac{1-cotx}{1-cotx}=1\)
c/ \(C=cos^4x-sin^4x+cos^4x+sin^2xcos^2x+3sin^2x\)
\(C=\left(cos^2x-sin^2x\right)\left(cos^2x+sin^2x\right)+cos^2x\left(cos^2x+sin^2x\right)+3sin^2x\)
\(C=cos^2x-sin^2x+cos^2x+3sin^2x\)
\(C=2cos^2x+2sin^2x=2\left(cos^2x+sin^2x\right)=2\)
FA
1
12 tháng 11 2015
\(A=\cos^4x+2\sin^2x.\cos^2x\left(\sin^2x+\cos^2x\right)+\sin^4x+1\)
\(=\cos^4x+2\sin^2x.\cos^2x+\sin^4x+1\)
\(=\left(\sin^2x+\cos^2x\right)^2+1=1+1=2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 4 2021
Bạn kiểm tra lại đề bài câu 1, câu này chỉ có thể rút gọn đến \(2cot^2x+2cotx+1\) nên biểu thức ko hợp lý
Đồng thời kiểm tra luôn đề câu 2, trong cả 2 căn thức đều xuất hiện \(6sin^2x\) rất không hợp lý, chắc chắn phải có 1 cái là \(6cos^2x\)
\(3sin^4x+cos^4x=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow\dfrac{\left(sin^2x\right)^2}{1}+\dfrac{\left(cos^2x\right)^2}{3}=\dfrac{1}{4}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\dfrac{\left(sin^2x\right)^2}{1}+\dfrac{\left(cos^2x\right)^2}{3}\ge\dfrac{\left(sin^2x+cos^2x\right)^2}{1+3}=\dfrac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy khi khi và chỉ khi: \(sin^2x=\dfrac{cos^2x}{3}\Rightarrow sin^4x=\dfrac{cos^4x}{9}\)
Thay vào biểu thức ban đầu:
\(3\left(\dfrac{cos^4x}{9}\right)+cos^4x=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow\dfrac{4}{3}cos^4x=\dfrac{3}{4}\Rightarrow cos^4x=\dfrac{9}{16}\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{cos^4x}{9}+3cos^4x=\dfrac{9}{16.9}+\dfrac{3.9}{16}=\dfrac{7}{4}\)
\(hàng thứ 2 chỗ sau dấu >= là tại sao vậy ạ ?\)