Cho xy>0 tm:\(x^2>2;y^2>2\)
CMR:\(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4\text{ }\text{ }\)≥ \(x^2+y^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
5 tháng 2 2018
Dự đoán dấu "=" khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow S=1\)
Ta chứng minh \(S=1\) là GTNN của \(S\)
Thật vật ta có: \(\frac{1}{4x^2-yz+2}+\frac{1}{4y^2-xz+2}+\frac{1}{4z^2-xy+2}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\frac{-4x^2+yz+1}{4x^2-yz+2}+\frac{-4y^2+xz+1}{4y^2-xz+2}+\frac{-4z^2+xy+1}{4z^2-xy+2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2yz-4x^2+xy+xz}{4x^2-yz+2}+\frac{2xz-4y^2+xy+yz}{4y^2-xz+2}+\frac{2xy-4z^2+xz+yz}{4z^2-xy+2}\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\frac{-\left(2x+z\right)\left(x-y\right)-\left(2x+y\right)\left(x-z\right)}{4x^2-yz+2}\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left(\left(x-y\right)\left(\frac{2y+z}{4y^2-xz+2}-\frac{2x+z}{4x^2-yz+2}\right)\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left(\left(x-y\right)^2\left(\frac{z^2+6yz+6xz+8xy-4}{\left(4y^2-xz+2\right)\left(4x^2-yz+2\right)}\right)\right)\ge0\) *Đúng*
BĐT cuối đúng hay ta có ĐCPM
12 tháng 11 2018
\(A=\frac{1}{\sqrt{x^2-xy+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{y^2-yz+z^2}}+\frac{1}{\sqrt{z^2-zx+x^2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(x-y\right)^2+\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(y-z\right)^2+\frac{1}{2}\left(y^2+z^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(z-x\right)^2+\frac{1}{2}\left(z^2+x^2\right)}}\)
\(\le\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(y^2+z^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(z^2+x^2\right)}}\)
\(\le\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
1 tháng 10 2021
Gọi \(A=\sum\dfrac{x^3}{\sqrt{y^2+3}}\)
Theo Holder: \(A.A.\left(\left(y^2+3\right)+\left(z^2+3\right)+\left(x^2+3\right)\right)\ge\left(x^3+y^3+z^3\right)^3\)
\(\Rightarrow A^2\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^3}{x^2+y^2+z^2+9}\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^3}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}=\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^3}{\left(x+y+z\right)^2+xy+yz+zx}\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^3}{\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)
Ta có đánh giá sau: \(x^3+y^3+z^3\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x+y+z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^3}{9}\)
\(\Rightarrow A^2\ge\dfrac{\dfrac{\left(x+y+z\right)^3}{9}}{\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\dfrac{x+y+z}{12}\ge\dfrac{\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}}{12}\ge\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{2}\)
C
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 10 2019
\(A=\frac{4}{4x^2+9y^2}+\frac{4}{12xy}+\frac{52}{2x.3y}\)
\(A\ge\frac{16}{4x^2+9y^2+12xy}+\frac{52.4}{\left(2x+3y\right)^2}=\frac{224}{\left(2x+3y\right)^2}\ge\frac{224}{4}=56\)
\(A_{min}=56\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
Đề là CMR $x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4> x^2+y^2$ thì đúng hơn bạn ạ.
Lời giải:
Ta có:
$\text{VT}=(x^4+y^4-x^3y-xy^3)+x^2y^2$
$=(x-y)^2(x^2+xy+y^2)+x^2y^2\geq x^2y^2$
Mà:
$x^2y^2=\frac{x^2y^2}{2}+\frac{x^2y^2}{2}> \frac{x^2.2}{2}+\frac{2.y^2}{2}=x^2+y^2$ do $x^2> 2, y^2>2$
Do đó: $\text{VT}> x^2+y^2$ (đpcm)