K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

5 tháng 3 2019

\(\sum\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\sum\frac{x}{x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}=\sum\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)

Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có

\(\sum\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\sum\frac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\right)^2}}\)

\(=\sum\frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\sum\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)

NV
9 tháng 4 2022

\(\sqrt{3x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}\ge\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}=\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Tương tự:

\(\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\) ; \(\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Cộng vế:

\(VT\le\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

9 tháng 4 2022

em cảm ơn thầy ạ

NV
30 tháng 12 2021

\(x+\sqrt{3x+yz}=x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}\ge x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}\)

\(=x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\dfrac{x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Tương tự:

\(\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\) ; \(\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Cộng vế với vế ta có đpcm

26 tháng 3 2022

không làm đc thì đừng có vào.

26 tháng 3 2022

không làm đc thì đừng có vào.

NV
26 tháng 7 2021

a.

\(\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Tương tự:

\(\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\) ; \(\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Cộng vế:

\(VT\le\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

NV
26 tháng 7 2021

b.

\(VP=\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{2\sqrt{4a\left(a+3b\right)}+2\sqrt{4b\left(b+3c\right)}+2\sqrt{4c\left(c+3a\right)}}\)

\(VP\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{4a+a+3b+4b+b+3c+4c+c+3a}\)

\(VP\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{8\left(a+b+c\right)}=\dfrac{1}{2}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

28 tháng 5 2017

ta có 3x + yz = x2 + xy + yz + zx = (x+y)(x+z)

do đó:

\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}-x\right)}{\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}+x\right)\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}-x\right)}\)

\(\frac{x\left(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}-x\right)}{xy+yz+zx}\le\frac{x\left(\frac{x+y+x+z}{2}-x\right)}{xy+yz+zx}\)\(\le\frac{x\left(y+z\right)}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)

tương tự với 2 số hạng còn lại nên ta được: P\(\le\)1. đpcm

15 tháng 5 2020

hi minh ket ban nhe

13 tháng 1 2021

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và kết hợp với giả thiết x + y + z = 3 ta có:

\(B=\sqrt{\dfrac{xy}{xy+z\left(x+y+z\right)}}+\sqrt{\dfrac{yz}{yz+x\left(x+y+z\right)}}+\sqrt{\dfrac{zx}{zx+y\left(x+y+z\right)}}\)

\(B=\sqrt{\dfrac{xy}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{\dfrac{yz}{\left(y+x\right)\left(z+x\right)}}+\sqrt{\dfrac{zx}{\left(z+y\right)\left(z+x\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{x+z}+\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{y}{y+x}+\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{z+y}+\dfrac{x}{z+x}\right)\)

\(B\le\dfrac{3}{2}\).

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1.

Vậy...

23 tháng 7 2018

I don't now

...............

.................

.

23 tháng 7 2018

haizzzzzzzzzzzzz