Cho a, b. c ≠ 0, abc = 1 và \(\frac{a}{b^3}\)+ \(\frac{b}{c^3}\)+ \(\frac{c}{a^3}\)= \(\frac{b^3}{a}\)+\(\frac{c^3}{b}\)+\(\frac{a^3}{c}\)
CMR trong 3 số a, b, c luôn tồn tại 1 số là lập phương của 1 trong 2 số còn lại.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
6 tháng 7 2020
để chứng minh 1 trong 3 số a,b,c là lập phương của 1 số hữu tỉ ta sẽ chứng minh \(\sqrt[3]{a};\sqrt[3]{b};\sqrt[3]{c}\) có ít nhất 1 số hữu tỉ
đặt \(\hept{\begin{cases}x=\frac{a}{b^3}\\y=\frac{b}{c^3}\\z=\frac{c}{a^3}\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}=\frac{b^3}{a}\\\frac{1}{y}=\frac{c^3}{b}\\\frac{1}{z}=\frac{a^3}{b}\end{cases}}}\)
do abc=1 => xyz=1 (1)
từ đề bài => \(x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(\Rightarrow x+y+z=xy+yz+xz\left(xyz\ge1\right)\left(2\right)\)
Từ (1)(2) => \(xyz+\left(x+y+z\right)-\left(xy+yz+zx\right)-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)=0\)
vậy \( {\displaystyle \displaystyle \sum }x=1 \) chẳng hạn, => \(a=b^3\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{a}=b\)mà b là số hữu tỉ
Vậy trong 3 số \(\sqrt[3]{a};\sqrt[3]{b};\sqrt[3]{c}\)có ít nhất 1 số hữu tỉ (đpcm)
27 tháng 8 2019
1/ Đặt
\(\frac{a}{b^2}=x,\frac{b}{c^2}=y,\frac{c}{a^2}=z,xyz=1\)thì ta có
\(x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=x+y+z\)
\(\Leftrightarrow xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=1;y=1;z=1\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b^2}=1;\frac{b}{c^2}=1;\frac{c}{a^2}=1\)
\(\Leftrightarrow a=b^2;b=c^2;c=a^2\)
27 tháng 8 2019
2/ Đặt
\(ab=x,bc=y,ca=z\) cần tính
\(P=\left(1+\frac{z}{y}\right)\left(1+\frac{x}{z}\right)\left(1+\frac{y}{x}\right)\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+y+z=0\\x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0\end{cases}}\)
Xét \(x+y+z=0\)
\(\Rightarrow P=\frac{x+y}{x}.\frac{y+z}{y}.\frac{z+x}{z}=\frac{\left(-x\right)\left(-y\right)\left(-z\right)}{xyz}=-1\)
Xét \(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=y=z\)
\(\Rightarrow P=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=8\)
XO
29 tháng 1 2021
Ta có \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=\frac{1}{a-b-c}\)
=> \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b-c}+\frac{1}{c}\)
=> \(\frac{b-a}{ab}=\frac{a-b}{\left(a-b-c\right)c}\)
Khi b - a = 0
=> (b - a)(a - c)(b + c) = 0 (1)
Khi b - a \(\ne0\)
=> ab = -(a - b - c).c
=> ab = -ac + bc + c2
=> ab + ac - bc - c2 = 0
=> a(b + c) - c(b + c) = 0
=> (a - c)(b + c) = 0
=> (b - a)(a - c)(b + c) = 0 (2)
Từ (1)(2) => (b - a)(a - c)(b + c) = 0
=> b - a = 0 hoặc a - c = 0 hoặc b + c = 0
=> a = b hoặc a = c hoặc b = -c
Vậy tồn tại 2 số bằng nhau hoặc đối nhau
28 tháng 11 2019
Đặt \(\left(\frac{a}{b^2},\frac{b}{c^2},\frac{c}{a^2}\right)=\left(x,y,z\right)\)
\(\Rightarrow xyz=\frac{abc}{a^2b^2c^2}=\frac{1}{abc}=1\)
Theo bài ra ta có : \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}=\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=xy+yz+xz\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-x-y+1\right)-1+z\left(x+y-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-x-y+1\right)+z\left(x+y-1-xy\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)-z\left(x-1\right)\left(y-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(1-z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b^2}{b^2}.\frac{b-c^2}{c^2}.\frac{a^2-c}{a^2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b^2\right)\left(b-c^2\right)\left(c-a^2\right)=0\)
Ta có đpcm
\(\frac{a^4c^3+b^4a^3+c^4b^3}{a^3b^3c^3}\)= \(\frac{b^4c+c^4a+a^4b}{abc}\)
\(\Rightarrow\)\(a^4c^3+b^4a^3+c^4b^3\)= \(b^4c+c^4a+a^4b\)
\(\Rightarrow\)\(a^4\left(c^3-b\right)+b^4\left(a^3-c\right)+c^4\left(b^3-a\right)\)= 0
suy ra c^3 -b = 0 hoặc a^3 -c = 0 hoặc b^3 -a = 0
suy ra đpcm
đặt \(\hept{\begin{cases}x=\frac{a}{b^3}\\y=\frac{b}{c^3}\\z=\frac{c}{a^3}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}=\frac{b^3}{a}\\\frac{1}{y}=\frac{c^3}{b}\\\frac{1}{z}=\frac{a^3}{c}\end{cases}}\)khi đó xyz=1
đề bài <=> x+y+z =1/x +1/y +1/z => x+y+z =yz+xz+xy
từ đó => xyz+ (x+y+z) -(xy+yz+xz)-1=0 <=> (x-1)(y-1)(z-1)=0
vây tồn tại x=1 =>a=b^3 (đpcm")