K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

8 tháng 8 2018

\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\)

<=>   \(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0\)

<=>  \(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)=0\)

<=>  \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)

<=>  \(\hept{\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{cases}}\) <=>  \(\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}}\)<=>  \(x=y=z\)  (đpcm)

8 tháng 8 2018

      \(x^2+y^2+z^2=xy+xz+yz\)

\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2=2xy+2xz+2yz\)

\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(x^2-2xz+z^2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2=0\)(1)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge0\forall x;y\\\left(y-z\right)^2\ge0\forall y;z\\\left(x-z\right)^2\ge0\forall x;z\end{cases}\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\ge0\forall x;y;z}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\x-z=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\x=z\end{cases}\Rightarrow}x=y=z}\)

Chúc bạn học tốt.

NV
13 tháng 6 2020

Bunhiacopxki: \(\left(x^2+yz+zx\right)\left(y^2+yz+zx\right)\ge\left(xy+yz+zx\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{xy}{x^2+yz+zx}\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)

Thiết lập tương tự và cộng lại:

\(\Rightarrow VT\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)+yz\left(z^2+xy+zx\right)+zx\left(x^2+yz+xy\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)

\(VT\le\frac{xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)

Ta chỉ cần chứng minh: \(\frac{xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\)

\(\Leftrightarrow xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz\le\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2yz+xy^2z+xyz^2\le x^3y+y^3z+z^3x\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}\ge x+y+z\) (đúng theo Cauchy-Schwarz)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)

13 tháng 6 2020

@Nguyễn Việt Lâm

NV
13 tháng 6 2020

BĐT của bạn bị ngược dấu, mà có vẻ các mẫu số cũng ko đúng (để ý mẫu số thứ 2 và thứ 3 đều có chung xy+xz ko hợp lý)

16 tháng 8 2016

\(\hept{\begin{cases}x^2=yz\\y^2=xz\\z^2=xy\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}=\frac{z}{x}\\\frac{x}{y}=\frac{y}{z}\\\frac{z}{x}=\frac{y}{z}\end{cases}\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}}\)

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}=\frac{x+y+z}{y+z+x}=1\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}\Rightarrow x=y=z}\)

17 tháng 8 2016

lo x+y+z=0 thi sao

3 tháng 12 2016

x^2+y^2+z^2= xy+yz+zx 

=> 2( x^2+y^2+z^2)= 2( xy+xz+yz)

=> 2x^2+2y^2+2z^2= 2xy+2xz+2yz

=> x^2+x^2+y^2+y^2+z^2+z^2= 2xy+2xz+2yz

=> x^2+x^2+y^2+y^2+z^2+z^2-2xy-2xz-2yz= 0

=> x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2=0

=> (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 =0

ta thấy (x-y)^2>= 0

(z-x)^2>=0

(y-z)^2>=0

nên (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 >=0

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

x-y=0 => x=y

y-z=0=> y=z

z-x=0 => z=x

=> x=y=z

NV
3 tháng 4 2021

Cần thêm điều kiện x;y;z đôi một phân biệt và để dấu "=" xảy ra khi thì x;y;z không âm chứ không phải dương

Không mất tính tổng quát, giả sử \(z=min\left\{x;y;z\right\}\Rightarrow xy+yz+zx\ge xy\)

\(\Rightarrow\dfrac{4}{xy+yz+zx}\le\dfrac{4}{xy}\)

Đồng thời: 

\(\left(z-x\right)^2=x^2+z\left(z-2x\right)\le x^2\Rightarrow\dfrac{1}{\left(z-x\right)^2}\ge\dfrac{1}{x^2}\) 

\(\left(y-z\right)^2=y^2+z\left(z-2y\right)\le y^2\ge\dfrac{1}{\left(y-z\right)^2}\ge\dfrac{1}{y^2}\)

Nên ta chỉ cần chứng minh:

\(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{xy}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{x^2+y^2}{xy}\ge4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{xy}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge2\) (hiển nhiên đúng theo AM-GM)

28 tháng 5 2021

dấu = xảy ra khi nào ạ ?

3 tháng 9 2017

Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki dạng phân thức : x²/a + y²/b ≥ (x+y)²/(a+b) 
Ta có : 
3/(xy+yz+zx) + 2/(x²+y²+z²) = 6/(2xy+2yz+2zx) + 2/(x²+y²+z²) 
≥ (√6+√2)²/(x+y+z)² = (√6+√2)² > 14 (đpcm). 

3 tháng 9 2017
Cách 2 : Ta đặt xy+yz+zx = t ( t>0 ) thì x²+y²+z² = (x+y+z)² - 2(xy+yz+zx) = 1-2t. Mặt khác ta lại có: 3(xy+yz+zx) ≤ (x+y+z)² = 1 ⇔ xy+yz+zx ≤ 1/3 hay t ≤ 1/3. Ta đưa bài toán về việc c/m: 3/t + 2/(1-2t) ≥ 14 với 0 < t ≤ 1/3. Biến đổi tương đương ta được : 3(1-2t) + 2t ≥ 14t(1-2t) ⇔ 28t² - 18t + 3 ≥ 0 ⇔ 3(1-3t)² + t² ≥ 0 (đúng). Tuy nhiên dấu "=" không xảy ra, do đó 3/(xy+yz+zx) + 2/(x²+y²+z²) > 14.
17 tháng 6 2016

http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%AAn-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017/

16 tháng 6 2016

bài của tui mà -_-

12 tháng 3 2017

solution:

ta có: \(3=x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\Leftrightarrow xyz\le1\)(theo BĐT cauchy cho 3 số )

\(\Rightarrow xy\le\dfrac{1}{z};yz\le\dfrac{1}{x};xz\le\dfrac{1}{y}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\dfrac{x}{\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}}=x\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{x^4}\)

tương tự ta có:\(\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}\ge\sqrt[3]{y^4};\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge\sqrt[3]{z^4}\)

cả 2 vế các BĐT đều dương,cộng vế với vế:

\(S=\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{y^4}+\sqrt[3]{z^4}\)

Áp dụng BĐT bunyakovsky ta có:

\(\left(\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{y^4}+\sqrt[3]{z^4}\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(\sqrt[3]{x^8}+\sqrt[3]{y^8}+\sqrt[3]{z^8}\right)^2=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)

\(\Rightarrow S\ge x^2+y^2+z^2\)

đến đây ta lại có BĐT quen thuộc: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

\(\Rightarrow S\ge xy+yz+xz\left(đpcm\right)\)

dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=z mà x2+y2+z2=3 => x=y=z=1

*cách khác : Áp dụng BĐT cauchy - schwarz(bunyakovsky):

\(S=\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\dfrac{x^4}{x^3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}}+\dfrac{y^4}{y^3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{y}}}+\dfrac{z^4}{z^3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{z}}}\)

\(S\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

13 tháng 3 2017

cái cách 2 là svac mà nhỉ