K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
CF
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 4 2021
Cần thêm điều kiện x;y;z đôi một phân biệt và để dấu "=" xảy ra khi thì x;y;z không âm chứ không phải dương
Không mất tính tổng quát, giả sử \(z=min\left\{x;y;z\right\}\Rightarrow xy+yz+zx\ge xy\)
\(\Rightarrow\dfrac{4}{xy+yz+zx}\le\dfrac{4}{xy}\)
Đồng thời:
\(\left(z-x\right)^2=x^2+z\left(z-2x\right)\le x^2\Rightarrow\dfrac{1}{\left(z-x\right)^2}\ge\dfrac{1}{x^2}\)
\(\left(y-z\right)^2=y^2+z\left(z-2y\right)\le y^2\ge\dfrac{1}{\left(y-z\right)^2}\ge\dfrac{1}{y^2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{x^2+y^2}{xy}\ge4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge2\) (hiển nhiên đúng theo AM-GM)
D
0
8 tháng 8 2018
ta có : \(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2=2xy+2yz+2zx\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\) \(\Leftrightarrow x=y=z\left(đpcm\right)\)
T
5 tháng 6 2019
#)Góp ý :
Mời bạn tham khảo :
http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%AAn-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017/
Mình sẽ gửi link này về chat riêng cho bạn !
LD
6 tháng 6 2019
Tham khảo qua đây nè :
http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%Ân-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017
tk cho mk nhé
KT
8 tháng 8 2018
\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\)
<=> \(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0\)
<=> \(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)=0\)
<=> \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
<=> \(\hept{\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}}\)<=> \(x=y=z\) (đpcm)
8 tháng 8 2018
\(x^2+y^2+z^2=xy+xz+yz\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2=2xy+2xz+2yz\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz=0\)
\(\Rightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(x^2-2xz+z^2\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2=0\)(1)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge0\forall x;y\\\left(y-z\right)^2\ge0\forall y;z\\\left(x-z\right)^2\ge0\forall x;z\end{cases}\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\ge0\forall x;y;z}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\x-z=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\x=z\end{cases}\Rightarrow}x=y=z}\)
Chúc bạn học tốt.
PN
23 tháng 4 2016
Bạn ghi sai đề rồi nhé! Nếu ta lần lượt thay số vào các biến \(x,y,z\) ở vế trái của bất đẳng thức trên (chẳng hạng như \(\frac{1}{3}\)) kết hợp với chú ý rằng \(x=y=z\) (sẽ được chứng minh ở các bước sau này), khi đó kết quả sẽ cho ra khác, tức là \(\frac{3}{\sqrt{2}}\) (vô lý!). Đó là lý do mình phải 'viết lại' đề cộng với một chút chỉnh sửa hợp lý về phương diện toán học. Hmmm, vất vả vật lộn với bài này quá nya. \(3\) \(s\) đi!
Đề: Cho ba số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(x+y+z=1\)
Chứng minh rằng: \(\sqrt{\frac{xy}{z+xy}}+\sqrt{\frac{yz}{x+yz}}+\sqrt{\frac{xz}{y+yz}}\le\frac{3}{2}\) \(\left(\text{*}\right)\)
Lời giải:
Từ giả thiết đã cho ở trên, ta dễ dàng chứng minh được \(1>x,y,z>0\) với mọi \(x,y,z\in R^+\)
\(\Rightarrow\) \(1-x>0;\) \(1-y>0;\) \(1-z>0\)
Khi đó, áp dụng bất đẳng thức \(AM-GM\) cho hai số không âm với chú ý rằng \(x+y+z=1\) (theo giả thiết), ta có:
\(\sqrt{\frac{xy}{z+xy}}=\sqrt{\frac{xy}{1-x-y+xy}}=\sqrt{\frac{xy}{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{1-y}+\frac{y}{1-x}\right)\) \(\left(1\right)\)
Hoàn toàn tương tự với vòng hoán vị \(y\) \(\rightarrow\) \(z\) \(\rightarrow\) \(x\), ta chứng minh được:
\(\sqrt{\frac{yz}{x+yz}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y}{1-z}+\frac{z}{1-y}\right)\) \(\left(2\right)\) và \(\sqrt{\frac{xz}{y+xz}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{z}{1-x}+\frac{x}{1-z}\right)\) \(\left(3\right)\)
Cộng từng vế các bất đẳng thức \(\left(1\right);\) \(\left(2\right);\) và \(\left(3\right),\) ta được:
\(VT\left(\text{*}\right)\le\frac{1}{2}\left[\left(\frac{y}{1-x}+\frac{z}{1-x}\right)+\left(\frac{x}{1-y}+\frac{z}{1-y}\right)+\left(\frac{x}{1-z}+\frac{y}{1-z}\right)\right]=\frac{1}{2}\left(1+1+1\right)=\frac{3}{2}=VP\left(\text{*}\right)\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
x^2+y^2+z^2= xy+yz+zx
=> 2( x^2+y^2+z^2)= 2( xy+xz+yz)
=> 2x^2+2y^2+2z^2= 2xy+2xz+2yz
=> x^2+x^2+y^2+y^2+z^2+z^2= 2xy+2xz+2yz
=> x^2+x^2+y^2+y^2+z^2+z^2-2xy-2xz-2yz= 0
=> x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2=0
=> (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 =0
ta thấy (x-y)^2>= 0
(z-x)^2>=0
(y-z)^2>=0
nên (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 >=0
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
x-y=0 => x=y
y-z=0=> y=z
z-x=0 => z=x
=> x=y=z