Bài 1: x2 - 5$\sqrt{X^2 1}=-5$ Bài 2: Với hai số thực không âm a,b thoã mãn a2 b2 = 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M = $\dfrac{ab}{a b 2}$ Bài 3: Cho a,b là hai số dương thoai mãn \(\sq...

Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn các điều kiện $\left(a+c\right)\left(b+c\right)=4c^2$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức$P=\frac{a}{b+3c}+\frac{b}{a+3c}+\frac{ab}{bc+ca}$Bài 2: Cho x,y,z thỏa mãn x+y+z=0 và $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm GTLN của biểu thức $P=x^5+y^5+z^5$Bài 3: Cho a,b,c dương thỏa mãn $a+b+c=1.$Tìm...

0

NT

Nguyễn Thị Mỹ vân

30 tháng 8 2021

Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn :a²+b²+c²=3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$M=\dfrac{a^5}{b^3+c^2}+\dfrac{b^5}{c^3+a^2}+\dfrac{c^5}{a^3+b^2}+a^4+b^4+c^4$

#Toán lớp 11

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

30 tháng 8 2021

$\dfrac{a^5}{b^3+c^2}+\dfrac{b^3+c^2}{4}+\dfrac{a^4}{2}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^9.\left(b^3+c^2\right)}{8\left(b^3+c^2\right)}}=\dfrac{3a^3}{2}$

Tương tự và cộng lại:

$\Rightarrow M-\dfrac{a^4+b^4+c^4}{2}+\dfrac{a^3+b^3+c^3}{4}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4}\ge\dfrac{3}{2}\left(a^3+b^3+c^3\right)$

$\Rightarrow M\ge\dfrac{a^4+b^4+c^4}{2}+\dfrac{5}{4}\left(a^3+b^3+c^3\right)-\dfrac{3}{4}$

Mặt khác ta có:

$\dfrac{1}{2}\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\dfrac{1}{6}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=\dfrac{3}{2}$

$\left(a^3+a^3+1\right)+\left(b^3+b^3+1\right)+\left(c^3+c^3+1\right)\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)=9$

$\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge9\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3$

$\Rightarrow M\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{15}{4}-\dfrac{3}{4}=...$

Đúng(1)

LT

Lê Tài Bảo Châu

25 tháng 10 2020

3

KN

Kiệt Nguyễn

25 tháng 10 2020

Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: $P=\text{}\Sigma_{cyc}a\sqrt{b^3+1}=\Sigma_{cyc}a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\Sigma_{cyc}a.\frac{\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)}{2}=\Sigma_{cyc}\frac{ab^2+2a}{2}=\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3$Giả sử b là số nằm giữa a và c thì $\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Rightarrow b^2+ac\le ab+bc$$\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+abc+bc^2\le a^2b+2abc+bc^2=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2$

Ta sẽ chứng minh: $b\left(3-b\right)^2\le4$(*)

Thật vậy: (*)$\Leftrightarrow\left(b-4\right)\left(b-1\right)^2\le0$(đúng với mọi $b\in[0;3]$)

Từ đó suy ra $\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\le\frac{1}{2}.4+3=5$

Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị

KN

Kiệt Nguyễn

26 tháng 10 2020

Bài 1: Đặt $a=xc,b=yc\left(x,y>0\right)$thì điều kiện giả thiết trở thành $\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4$

Khi đó $P=\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}=\frac{x^2+y^2+3\left(x+y\right)}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}$$=\frac{\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)-2xy}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}$

Có: $\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\Rightarrow xy=3-\left(x+y\right)$

Đặt $t=x+y\left(0< t< 3\right)\Rightarrow xy=3-t\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{t^2}{4}\Rightarrow t\ge2$(do t > 0)

Lúc đó $P=\frac{t^2+3t-2\left(3-t\right)}{3-t+3t+9}+\frac{3-t}{t}=\frac{t}{2}+\frac{3}{t}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{t}{2}.\frac{3}{t}}-\frac{3}{2}=\sqrt{6}-\frac{3}{2}$với $2\le t< 3$

Vậy $MinP=\sqrt{6}-\frac{3}{2}$đạt được khi $t=\sqrt{6}$hay (x; y) là nghiệm của hệ $\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{6}\\xy=3-\sqrt{6}\end{cases}}$

Ta lại có $P=\frac{t^2-3t+6}{2t}=\frac{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}{2t}+1\le1$(do $2\le t< 3$)

Vậy $MaxP=1$đạt được khi t = 2 hay x = y = 1

T

🙂T😃r😄a😆n😂g🤣

16 tháng 4 2021

Cho hai số không âm a và b thoả mãn a²+b² ≤ a+b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau :

P= 2020 + $\left(\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}\right)^{2021}$

#Toán lớp 8

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

16 tháng 4 2021

$a+b\ge a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2$

$\Rightarrow2\ge a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le1$

Xét $Q=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}=\dfrac{a\left(b+1\right)+b\left(a+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=\dfrac{a+b+2ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}$

$Q=\dfrac{a+b+ab+ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\le\dfrac{a+b+ab+1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=\dfrac{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=1$

$\Rightarrow P\le2020+1^{2021}=2021$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$

Đúng(3)

TN

Thành Nguyễn

15 tháng 3 2021

Cho số thực a, b không âm thỏa mãn a²+b²≤2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: C=$\sqrt{a\left(29a+3b\right)}+\sqrt{b\left(29b+3a\right)}$

1. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3.2. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.3. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)4. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng: a b a b   5. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4ab) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 86. Chứng minh các bất đẳng thức:a) (a...

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

15 tháng 3 2021

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$C^2\leq (a+b)[(29a+3b)+(29b+3a)]=32(a+b)^2$

$(a+b)^2\leq (a^2+b^2)(1+1)\leq 4$

$\Rightarrow C^2\leq 32.4$

$\Rightarrow C\leq 8\sqrt{2}$
Vậy $C_{\max}=8\sqrt{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$

Đúng(3)

VN

Vũ Nguyễn Đức Toàn

10 tháng 3 2022

cho hai số không âm a,b thỏa mãn a²+b²=a+b tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S=a/a+1+b/b+1

#Toán lớp 7

0

TN

Trần Ngọc Hoàng

23 tháng 10 2016

3

NT

nguyễn thị huyền trang

23 tháng 10 2016

bài 5 nhé:

a) (a+1)²>=4a

<=>a²+2a+1>=4a

<=>a²-2a+1.>=0

<=>(a-1)²>=0 (luôn đúng)

vậy......

b) áp dụng bất dẳng thức cô si cho 2 số dương 1 và a ta có:

a+1>=$2\sqrt{a}$

tương tự ta có:

b+1>=$2\sqrt{b}$

c+1>=$2\sqrt{c}$

nhân vế với vế ta có:

(a+1)(b+1)(c+1)>=$2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}$

<=>(a+1)(b+1)(c+1)>=$8\sqrt{abc}$

<=>(a+)(b+1)(c+1)>=8 (vì abc=1)

vậy....

TV

Thái Viết Nam

23 tháng 10 2016

bạn nên viết ra từng câu

Chứ để như thế này khó nhìn lắm

TU

Tạ Uyên

8 tháng 12 2021

Cho 3 số thực không âm a, b, c thỏa mãn a² + b² + c² = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = a + b²⁰¹¹ + c¹⁹⁵⁴ – ab – bc – ac.

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

8 tháng 12 2021

Do $a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow0\le a;b;c\le1$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\le0\\b^{2011}\le b\\c^{2011}\le c\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow T\le a+b+c-ab-bc-ca=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)+1-abc\le1-abc\le1$

$T_{max}=1$ khi $\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)$ và các hoán vị

1) cho các số thực dương a,b thỏa mãn $3a+b\le1$. Tìm Min của $P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}$2) Với hai số thực a,b không âm thỏa mãn $a^2+b^2=4$. Tìm Max $M=\dfrac{ab}{a+b+2}$3) Cho x,y khác 0 thỏa mãn $\left(x+y\right)xy=x^2+y^2-xy$. Tìm...

MT

Mai Tiến Đỗ

23 tháng 1 2021

2

TM

Trần Minh Hoàng

23 tháng 1 2021

1) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và bất đẳng thức Schwarz:

$P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{4}{a+\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{8}{3a+b}\ge8$.

Đẳng thức xảy ra khi a = b = $\dfrac{1}{4}$.

Đúng(1)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

23 tháng 1 2021

2.

$4=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\sqrt{2}$

Đồng thời $\left(a+b\right)^2\ge a^2+b^2\Rightarrow a+b\ge2$

$M\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b+2\right)}=\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}$ (với $x=a+b\Rightarrow2\le x\le2\sqrt{2}$ )

$M\le\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1$

$M\le\dfrac{\left(2\sqrt{2}-x\right)\left(x+4-2\sqrt{2}\right)}{4\left(x+2\right)}+\sqrt{2}-1\le\sqrt{2}-1$

Dấu "=" xảy ra khi $x=2\sqrt{2}$ hay $a=b=\sqrt{2}$

3. Chia 2 vế giả thiết cho $x^2y^2$

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2$

$\Rightarrow0\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le4$

$A=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\le16$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\dfrac{1}{2}$

Đúng(1)

HB

Hà Bùi

27 tháng 5 2018

Với hai số thực không âm a,b thỏa mãn a^2+b^2=4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M= ab/(a+b+2)

4

F

๖Fly༉Donutღღ

28 tháng 5 2018

Ta có: $a^2+b^2=4\left(gt\right)\Rightarrow2ab=\left(a+b\right)^2-4$

$\Rightarrow2M=\frac{\left(a+b\right)^2-4}{a+b+2}=a+b-2$

Mà $a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=2\sqrt{2}$

$\Rightarrow M\le\sqrt{2}-1$

Dấu $"="\Leftrightarrow a=b=\sqrt{2}$

Vậy GTLN của $M=\frac{ab}{a+b+2}=\sqrt{2}-1$khi $a=b=\sqrt{2}$

VL

VRCT_Ran Love Shinichi

27 tháng 5 2018

Ta có a²+b²=4

<=> (a+b)²=4+2ab

<=> (a+b)²-4=2ab

<=> (a+b-2)(a+b+2)=2ab

<=> $\frac{\left(a+b-2\right)\left(a+b+2\right)}{2}=ab$

Ta có $M=\frac{ab}{a+b+2}=\frac{\left(a+b+2\right)\left(a+b-2\right)}{2\left(a+b+2\right)}=\frac{a+b-2}{2}=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}-1$

Áp dụng BĐT Bunyakovsky cho 2 số a/2 và b/2 ta có

$\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)^2\le\left(\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)\left(a^2+b^2\right)$

$\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)^2\le\frac{1}{2}.4\left(doa^2+b^2=4\right)$

$\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)^2\le2$

$\Rightarrow\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\le\sqrt{2}$

Do đó $M=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}-1\le\sqrt{2}-1$

Vậy Max M = $\sqrt{2}-1$