If p is a prime number such that there exist positive integers a and b such that \(\frac{1}{p}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\) then p = ?
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
BT
1
10 tháng 4 2017
câu 7 mk bấm nhầm đáp án là 120
qua B kẻ đường thẳng song song với AM cắt AC ở N.
vì AM là phân giác góc BAC nên có :
\(\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{CM}{BM}=\dfrac{12}{6}=2\) suy ra \(\dfrac{CM}{BC}=\dfrac{CM}{CM+BM}=\dfrac{12}{12+6}=\dfrac{2}{3}\)
vì AM song song với BN nên có :
1,\(\dfrac{CA}{AN}=\dfrac{CM}{BM}=\dfrac{12}{AN}=2\) suy ra AN=6
2,\(\dfrac{AM}{BN}=\dfrac{CM}{BC}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{BN}\)suy ra BN=6
vì AB=6 nên tam giác ABN đều
suy ra \(\widehat{NAB}\)=\(60^0\)
mà \(\widehat{NAB}+\widehat{BAC}=\)\(180^0\)
nên \(\widehat{BAC}=\)\(120^0\)
9 tháng 6 2018
We have:\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2+c^2=\frac{1}{3}\\a,b,c>0\end{cases}\Rightarrow0< a,b,c< \frac{1}{\sqrt{3}}}\)
We prove to:
\(4x+\frac{2}{3x}\ge-3x^2+\frac{11}{3}\) with \(0< x< \frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow4x+\frac{2}{3x}+3x^2-\frac{11}{3}\ge0\)
\(\Leftrightarrow9x^3+12x^2-11x+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(3x+1\right)^2\left(x+2\right)\ge0\) Always true to all \(0< x< \frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow VT\ge-3a^2+\frac{11}{3}-3b^2+\frac{11}{3}-3c^2+\frac{11}{3}\)
\(=-3\left(a^2+b^2+c^2\right)+11=-3.\frac{1}{3}+11=10\) \(\left(đpcm\right)\)
9 tháng 6 2018
Đặt biểu thức trên là \(A\)
Ta có : \(A=\left(4a+\frac{2}{3a}\right)+\left(4b+\frac{2}{3b}\right)+\left(4c+\frac{2}{3c}\right)\)
Cần chứng minh \(4a+\frac{2}{3a}\ge-3a^2+\frac{11}{3}\) (*)
Thật vậy \(BĐT\Leftrightarrow4a+\frac{2}{3a}+3a^2-\frac{11}{3}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{12a^2+2+9a^3-11a}{3a}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a+2\right)\left(3a-1\right)^2}{3a}\ge0\) (luôn đúng)
Tương tự : \(4b+\frac{2}{3b}\ge-3b^2+\frac{11}{3}\) và \(4c+\frac{2}{3c}\ge-3c^2+\frac{11}{3}\)
Cộng các bất dẳng thức vừa CM đc ta có :
\(A\ge-3\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{11}{3}.3=-3.\frac{1}{3}+11=10\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
LN
10 tháng 6 2019
Có: \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{cd}\ge\frac{4}{ab+cd}=\frac{8}{a^2+b^2+c^2+d^2}.\)
Cần CM: \(\frac{8}{a^2+b^2+c^2+d^2}\ge\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}\)
hay: \(\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)^2\ge16\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge4\)
CM Bđt phụ sau: \(a^2+b^2+c^2+d^2\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4}\)
Thật vậy: \(4\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)-\left(a+b+c+d\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(c-d\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(a-d\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(b-d\right)^2\ge0\)(đúng)
.................
NK
11 tháng 6 2019
Lê Nhật Khôi cách này lúc đầu em cũng tính làm như nó ngược dấu rồi thì phải:
\(\frac{8}{a^2+b^2+c^2+d^2}\ge\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{16}{2\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)^2\le16\) thế này mới đúng chứ?
_ tth_
Dịch: Tìm số nguyên tố p sao cho tồn tại số nguyên dương a; b sao cho \(\frac{1}{p}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\)
Vì \(\frac{1}{p}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\) => (a2 + b2).p = a2.b2 (*) => a2b2 chia hết cho p => a2 chia hết cho p hoặc b2 chia hết cho p
+) Nếu a2 chia hết cho p ; p là số nguyên tố => a chia hết cho p => a2 chia hết cho p2 => a2 = k.p2 ( k nguyên dương)
Thay vào (*) ta được (a2 + b2) . p = k.p2.b2 => a2 + b2 = kp.b2 => a2 + b2 chia hết cho p => b2 chia hết cho p
=> b chia hết cho p
+) Khi đó, đặt a = m.p; b = n.p . thay vào \(\frac{1}{p}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\) ta được: \(\frac{1}{p}=\frac{1}{m^2p^2}+\frac{1}{n^2p^2}\)
=> \(\frac{1}{p}=\frac{1}{p^2}\left(\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}\right)\)=> \(\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}=p\)
+) Vì p là số nguyên tố nên p > 2 . mà a; b nguyên dương nên m; n nguyên dương => m; n > 1 => \(\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}\le1+1=2\)
=> p = 2 và \(\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}=2\) => m = n = 1
Vậy p = 2 và a = b = 2
Lời giải bằng tiếng việt hay anh đây ?