CM BĐT
a/ \(2a^2+b^2+c^2\ge2a\left(b+c\right)\) \(\forall a,b\)
b/ \(a^2+2b^2+12\ge2b\left(3-a\right)\) \(\forall a,b\)
c/ \(a^2+b^2+c^2\ge2\left(a+b+c\right)-3\) \(\forall a,b\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
QA
2
T
16 tháng 1 2021
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và bất đẳng thức AM-GM, ta có:
\(a^2+3\left(b^2+c^2+d^2\right)\ge a^2+\left(b+c+d\right)^2\ge2a\left(b+c+d\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi $b=c=d=\frac{a}{3}.$
LB
18 tháng 12 2017
c) theo bđt cauchy ta có
\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+1\ge2b\\a^2+1\ge2a\end{matrix}\right.\)
cộng hết lại rút 2 đi \(\Rightarrowđpcm\)
30 tháng 7 2020
Đặt a2 = x; b2 = y; c2 = z
Khi đó, ta có: (x + y)(y + z)(z + x) \(\ge\)xyz
<=> (xy + xz + y2 + yz)(z + x) - 8xyz \(\ge\)0
<=> xyz + xz2 + y2z + yz2 + x2y + x2z + y2x + xyz - 8xyz \(\ge\)0
<=> (xz2 +xy2) + (y2z + zx2) + (yz2 + yx2) - 6xyz \(\ge\)0
<=> (xz2 - 2xyz + xy2) + (y2z + zx2 - 2xyz) + (yz2 + yx2 - 2xyz) \(\ge\)0
<=> x(z2 - 2yz + y2) + z(y2 + x2 - 2xy) + y(z2 + x2 - 2xz) \(\ge\) 0
<=> x(z - y)2 + z(y - x)2 + y(z - x)2 \(\ge\)0
hay a2(c2 - b2)2 + c2(b2 - a2)2 + b2(c2 - a2)2 \(\ge\)0 (luôn đúng với mọi a;b;c)
=> Đpcm
PN
30 tháng 7 2020
Đặt \(a^2;b^2;c^2\rightarrow x;y;z\left(x;y;z\ge0\right)\)
Khi đó bài toán trở thành \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8xyz\)
\(< =>\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)-8xyz\ge0\)
\(< =>a\left(b-c\right)^2+b\left(c-a\right)^2+c\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\)hay \(a^2=b^2=c^2\)
10 tháng 9 2018
\(1.\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
\(2.\left(\frac{a}{2}-b\right)^2+\left(\frac{a}{2}-c\right)^2+\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\frac{a^2}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=0\)
\(3.\left(\frac{a}{2}-b\right)^2+\left(\frac{a}{2}-c\right)^2+\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\left(\frac{a}{2}-e\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{2}=b=c=d=e\)
4. Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\left(c-d\right)^2\ge0\Rightarrow c^2+d^2\ge2cd\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge2ab+2cd\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\ge3ab+3cd\)
Ta lại có:\(\left(\sqrt{ab}-\sqrt{cd}\right)^2\ge0\Rightarrow ab+cd\ge2\sqrt{abcd}=2\)
\(\Rightarrow3\left(ab+cd\right)\ge6\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\ge3\left(ab+cd\right)\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b\\c=d\\ab=cd\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=d\)
NC
28 tháng 9 2020
Não đặc-.-
Nếu sửa đề ntn thì mk nghĩ không ngược dấu mới làm được nek
Bài 1: CMR: \(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-\frac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\) với a,b,c dương
Bài làm:
Ta có: \(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-\frac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}}-\frac{8abc}{2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}}\)
\(=\frac{a^2+b^2+c^2}{\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}}-\frac{8abc}{8abc}\)
\(=1-1=0\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
28 tháng 9 2020
Vãi bạn, mình đang đưa các bài tập về các bđt ngược chiều nên đề như thế là đúng r
VI
1
8 tháng 10 2019
Bài nek cũng dễ mà bạn.
\(\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+1\right)\ge4a^2b\)
\(\Leftrightarrow a^4+a^2b^2+a^2+b^2-4a^2b\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4-2a^2b+b^2+a^2b^2-2a^2b+a^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b\right)^2+a^2\left(b-1\right)^2\ge0\)( đúng )
Vậy.................
9 tháng 4 2017
Lời giải
\(\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right)\left(b^2+\dfrac{1}{b^2}\right)\left(c^2+\dfrac{1}{c^2}\right)\ge8\)
\(A=\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right)\left(b^2+\dfrac{1}{b^2}\right)\left(c^2+\dfrac{1}{c^2}\right)\)
\(A=\left[\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}-2\right)+2\right].\left[\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}-2\right)+2\right].\left[\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}-2\right)+2\right]\)
\(A=\left[\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2+2\right].\left[\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2+2\right].\left[\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2+2\right]\)Thừa nhận cần c/m câu khác: \(\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2\ge0\forall x\ne0\)
\(\Rightarrow A\ge\left[\left(0\right)+2\right].\left[\left(0\right)+2\right].\left[\left(0\right)+2\right]=8\)
\(\Rightarrow A\ge8\forall_{a,b,c\ne0}\)=> dpcm
Đẳng thức khi \(\left\{{}\begin{matrix}\left|a\right|=1\\\left|b\right|=1\\\left|c\right|=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\pm1\\b=\pm1\\c=\pm1\end{matrix}\right.\) Không tin bạn thử a=b=c=-1<0 vào thử xem
PC
6 tháng 4 2017
Có một chút vần đề nha ĐK phải là a,b,c > 0 nhé
bài này ta sẽ chứng minh lần lượt \(a^2+\dfrac{1}{a^2};b^2+\dfrac{1}{b^2};c^2+\dfrac{1}{c^2}\)lớn hơn hoặc bằng 2
Ta sẽ giả sử
\(a^2+\dfrac{1}{a^2}\ge2\)(2)
\(\Leftrightarrow a^2-2+\dfrac{1}{a^2}\ge0\Leftrightarrow a^2-2a\times\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2\ge0\)(luôn đúng) (1)
BĐT (2) đúng suy ra BĐT (1) đúng
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(a=\dfrac{1}{a}\Leftrightarrow a^2=1\Leftrightarrow a=1\)(*)
CMTT ta có : \(b^2+\dfrac{1}{b^2}\ge2\) (=) b = 1 (**)
\(c^2+\dfrac{1}{c^2}\ge2\) (=) c = 1 (***)
Nhân vế theo vế của (*) , (**) , (***) ta được
\(\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right).\left(b^2+\dfrac{1}{b^2}\right).\left(c^2+\dfrac{1}{c^2}\right)\ge2^3=8\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
a ) \(2a^2+b^2+c^2\ge2a\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\)
\(\LeftrightarrowĐPCM.\)
b ) \(a^2+2b^2+12\ge2b\left(3-a\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+2b^2+12\ge6b-2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2+b^2-6b+9+3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+\left(b-3\right)^2+3\ge0\)
\(\LeftrightarrowĐPCM.\)
c ) \(a^2+b^2+c^2\ge2\left(a+b+c\right)-3\)
\(\Leftrightarrow a^2+2a+1+b^2+2b+1+c^2+2c+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2+\left(b+1\right)^2+\left(c+1\right)^2\ge0\)
\(\LeftrightarrowĐPCM.\)
a)theo cauchy ta có
\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\a^2+c^2\ge2ac\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow2a^2+b^2+c^2\ge2a\left(b+c\right)\Rightarrowđpcm\)
câu b) xem lại đề , tôi nghĩ phải > 0 mới đúng
c) theo cauchy ta có
\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\a^2+c^2\ge2ac\\b^2+c^2\ge2bc\end{matrix}\right.\)
cộng lại, rút 2 đi suy ra đpcm