Question

[Minh Võ]

Gọi a,b,c,d theo thứ tự là độ dài các cạnh AB,BC,CD,DA của tứ giác ABCD , S và p theo thứ tự là diện tích và nửa chu vi của tứ giác đó a CMR S<= 1/2(ab+cd) b. CMR 4S<= (a+c)(b+d)<=p^2 c. CMR S<= a^2+b^2+c^2+d^2/4

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

a)

Bổ đề: Tam giác $ABC$ có \(\angle A=\alpha\) thì \(S_{ABC}=\frac{AB.AC\sin \alpha}{2}\)

Chứng minh: Từ $B$ kẻ đường cao $BH$ của tam giác

Khi đó:\(S_{ABC}=\frac{BH.AC}{2}\) (1)

Mà \(\frac{BH}{AB}=\sin \alpha\) (TH góc A tù thì ta có: \(\frac{BH}{AB}=\sin (180^0-\alpha)=\sin \alpha\) ) \(\Rightarrow BH=AB.\sin \alpha\) (2)

Từ (1).(2) suy ra \(S_{ABC}=\frac{AB.AC.\sin \alpha}{2}\)

--------------------------------------------

Quay lại bài toán:

a)

\(S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ADC}=\frac{ab.\sin \angle ABC}{2}+\frac{cd.\sin \angle ADC}{2}\)

Vì \(\sin ABC, \sin ADC\leq 1\Rightarrow S_{ABCD}\leq \frac{ab}{2}+\frac{cd}{2}=\frac{ab+cd}{2}\)

Ta có đpcm.

b)

* Vế đầu tiên:

\(2S=S_{ABC}+S_{ADC}+S_{BAD}+S_{BCD}\)

\(=\frac{ac\sin \angle ABC}{2}+\frac{cd\sin \angle ADC}{2}+\frac{ad.\sin \angle BAD}{2}+\frac{bc\sin \angle BCD}{2}\)

\(\leq \frac{ac}{2}+\frac{cd}{2}+\frac{ad}{2}+\frac{bc}{2}=\frac{ac+cd+ad+bc}{2}\)

\(\Leftrightarrow 4S\leq ac+cd+ad+bc=(a+c)(b+d)\) (đpcm)

* Vế sau:

\(p^2=\left(\frac{a+b+c+d}{2}\right)^2=\frac{[(a+c)+(b+d)]^2}{4}\)

Áp dụng bđt AM-GM: \((a+c)+(b+d)\geq 2\sqrt{(a+c)(b+d)}\)

\(\Rightarrow 4p^2=[(a+c)+(b+d)]^2\geq 4(a+c)(b+d)\)

\(\Rightarrow p^2\geq (a+c)(b+d)\) (đpcm)

c)

Theo phần b, ta đã chứng minh được:

\(S\leq \frac{(a+c)(b+d)}{4}\) (1)

Mặt khác, áp dụng BĐT AM-GM:

\(a^2+b^2\geq 2ab\)

\(a^2+d^2\geq 2ad\)

\(b^2+c^2\geq 2bc\)

\(c^2+d^2\geq 2cd\)

Cộng theo vế: \(\Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2+d^2)\geq 2(ab+ad+bc+cd)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\geq ab+ad+bc+cd=(a+c)(b+d)\) (2)

Từ \((1);(2)\Rightarrow S\leq \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}\) (đpcm)