Question

[Sách Giáo Khoa]

Có bao nhiêu cách viết phân số \(\dfrac{1}{5}\) dưới dạng tổng của hai phân số \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\) với \(0< a< b\) ?

Answer 1

[Hoang Hung Quan]

Giải:

Ta có:

Do \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}< \dfrac{1}{5}\Leftrightarrow a>5\left(1\right)\)

Ta lại có:

\(0< a< b\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\)

Hay \(\dfrac{2}{a}>\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow\dfrac{2}{a}>\dfrac{2}{10}\Leftrightarrow a< 10\left(2\right)\)

Kết hợp \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\Leftrightarrow a\in\left\{6;7;8;9\right\}\)

- Với \(a=6\) thì \(\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{30}\Leftrightarrow b=30\)

- Với \(a=7\) thì \(\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}=\dfrac{2}{35}\Leftrightarrow b=17,5\) (loại)

- Với \(a=8\) thì \(\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{40}\Leftrightarrow b\approx13,3\) (loại)

- Với \(a=9\) thì \(\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{9}=\dfrac{4}{45}\Leftrightarrow b=11,25\) (loại)

Vậy chỉ có 1 cách viết là \(\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{30}\)

Answer 2

[Võ Thiết Hải Đăng]

Vì Suy ra a > 5 (1)

Ta lại có 0 < a < b nên

Hay , suy ra a < 10 (2)

Từ (1) và (2) ta có a ∈ {6;7;8;9}

Nếu a = 6 thì nên b = 30

Nếu a = 7 thì suy ra b = 17,5 (loại)

Nếu a = 8 thì suy ra b ≈ 13,3 (loại)

Nếu a = 9 thì suy ra b = 11,25 (loại)

Vậy chỉ có một cách viết là