Question

[michelle holder]

1/ cho a,b,c thỏa \(ab+bc+ca\ge11\)

c/m \(\sqrt[3]{a^2+3}+\dfrac{7}{5\sqrt[3]{14}}\sqrt[3]{b^2+3}+\dfrac{\sqrt[3]{9}}{5}\sqrt[3]{c^2+3}\ge\dfrac{23}{5\sqrt[3]{2}}\)

2)cho a,b,c dương thỏa a+b+c=3

c/m \(\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a^2-b^2\right)\left(b^2-c^2\right)\left(c^2-a^2\right)\le\dfrac{729\sqrt{3}}{8}\)

p/s: cách của mik đa phần dùng cô-si (I need another way!!)

Answer 1

[THÁNH TOÁN]

câu 2 này ms làm tức thì nà

đầu tiên t c/m câu phụ \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\le\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)

đặt P =VT ta có \(P\le\left|P\right|=\sqrt{P^2}\)

vậy ta c/m \(P^2\le\dfrac{27}{4}\)

<=> \(\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2\le\dfrac{27}{4}\)

không mất tính tổng wat giả sử \(a\ge b\ge c\) (2)

dễ thấy \(\left(b-c\right)^2\le b^2;\left(c-a\right)^2\le a^2\)

=> c/m :\(a^2b^2\left(a-b\right)^2\le\dfrac{27}{4}\Leftrightarrow4a^2b^2\left(a-b\right)^2\le\dfrac{27}{4}\)

áp dụng AM-GM ta có

\(4a^2b^2\left(a-b\right)^2=\left(2ab\right)\left(2ab\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)\le\left[\dfrac{2\left(2ab\right)+\left(a^2-2ab+b^2\right)}{3}\right]^3=\left(\dfrac{a^2+2ab+b^2}{3}\right)^3=\dfrac{\left(a+b\right)^6}{27}\)

mặt khác từ (2) ta có \(a+b\le a+b+c=3\)

=>dpcm

@quay trở lại bài toán áp dụng câu phụ mik vừa ns c2 <=> c/m

\(\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\dfrac{243}{4}\)

nhân 3 cho 2 vế r áp dụng AM-GM

\(\left(a^3+b^3+c^3\right)3\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(c+b\right)\)\(\le\dfrac{\left[a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2}{4}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^6}{4}=\dfrac{729}{4}\)

=> dpcm

Answer 2

[michelle holder]

giúp jum t @Neet;@Ace Legona (có cách khác AM-GM thì qá tốt nha!!)