Cho khối bát diện đều ABCDEF (h.1.9). Gọi O là giao điểm của AC, BD, M và N theo thứ tự là trung điểm của AB và AE. Tính diện tích thiết diện tạo bởi khối bát đó với mặt phẳng (OMN) ?
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có khối bát diện đều ABCDEF, cạnh a. Do MN // (DEBF) nên giao của mặt phẳng (OMN) với mặt phẳng (DEBF) là đường thẳng qua O và song song với MN.
Ta nhận thấy đường thẳng này cắt DE và BF tại các trung điểm P và S tương ứng của chúng. Do mặt phẳng (ADE) song song với mặt phẳng (BCF) nên (OMN) cắt (BCF) theo giao tuyến qua S và song song với NP. Dễ thấy giao tuyến này cắt FC tại trung điểm R của nó. Tương tự, (OMN) cắt DC tại trung điểm Q của nó. Từ đó suy ra thiết diện tạo bởi hình bát diện đã cho với mặt phẳng (OMN) là lục giác đều có cạnh bằng a/2.
Do đó diện tích của nó bằng
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Phương pháp:
Khối đa diện có các đỉnh là trung điểm của các cạnh xuất phát từ đỉnh A và F của hình bát diện đều ABCDEF (như hình vẽ) là hình hộp chữ nhật.
Cách giải:
Khối đa diện có các đỉnh là trung điểm của các cạnh xuất phát từ đỉnh A và F của hình bát diện đều ABCDEF là hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh a 2 ;
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đáp án C.
+ (ABD) và (IMK) có điểm chung là k và lần lượt chứa hai đường thẳng AB // MI
=>Giao tuyến của (ABD) và (IMK) là đường thẳng đi qua K và song song với AB và AD tại E =>Thiết diện cần tìm là tứ giác MKEI có M I / / K E M I > K E (1)
+ Δ B M K = Δ A I E ⇒ I E = M K (2)
Từ (1) và (2) =>Tứ giác MKEI là hình thang cân với đáy lớn là MI
+ Có E K = 1 3 ; A B = a 3 ; M I = a 2
Gọi H là hình chiếu vuông góc của E lên MI =>2IH + EK = IM => I H = a 12
I E = A I 2 + A E 2 − 2 A I . A E . c o s 60 ° = a 13 6 ⇒ E H = 13 a 2 36 − a 2 144 = a 51 12
S I M K E = 1 2 E K + I M . E H = 5 a 2 51 144
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đáp án C.
+ (ABD) và (IMK) có điểm chung là k và lần lượt chứa hai đường thẳng AB // MI
=> Giao tuyến của (ABD) và (IMK) là đường thẳng đi qua K và song song với AB và AD tại E Thiết diện cần tìm là tứ giác MKEI có
Từ (1) và (2) => Tứ giác MKEI là hình thang cân với đáy lớn là MI
+ Có
Gọi H là hình chiếu vuông góc của E lên MI 2IH + EK = IM
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đáp án B.
Trong A B C kẻ M P / / C I P ∈ A C . Trong S A C kẻ P N / / S C N ∈ S A .
⇒ M N P / / S I C ⇒ M N P ≡ α
Suy ra thiết diện giữa α và tứ diện S.ABC là tam giác MNP.
Do S.ABC là tứ diện đều nên ta đặt S A = S B = S C = S D = A B = B C = C A = 2 x
⇒ A I = x ; C I = 2 x 3 2 = x 3
Ta có M P / / C I ⇒ M P C I = A P A C = A M A I = a x ⇒ M P = a x . x 3 = a 3
Tương tự ta có M N = a 3 .
Ta có N P S C = A P A C = a x ⇒ N P = a x . S C = a x .2 x = 2 a .
Chu vi tam giác MNP là C = 2 a + a 3 + a 3 = 2 a 1 + 3 . Ta chọn B.
Ta có khối bát diện đều ABCDEF, cạnh a. Do MN // (DEBF) nên giao của mặt phẳng (OMN) với mặt phẳng (DEBF) là đường thẳng qua O và song song với MN
Ta nhận thấy đường thẳng này cắt DE và BF tại các trung điểm P và S tương ứng của chúng. Do mặt phẳng (ADE) song song với mặt phẳng (BCF) nên (OMN) cắt (BCF) theo giao tuyến qua S và song song với NP. Dễ thấy giao tuyến này cắt FC tại trung điểm R của nó. Tương tự (OMN) cắt DC tại trung điểm Q của nó. Từ đó suy ra thiết diện tạo bởi hình bát diện đã cho với mặt phẳng (OMN) là lục giác đều có cạnh bằng \(\dfrac{a}{2}\)
Do đó diện tích của nó bằng \(\dfrac{3\sqrt{3}}{8}a^2\)