Chứng minh rằng :\(\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}}+\dfrac{1}{\sqrt{100}}\)>10
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
YN
10 tháng 2 2023
Ta có:
\(\dfrac{1}{\sqrt{1}}>\dfrac{1}{10}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}>\dfrac{1}{10}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}>\dfrac{1}{10}\)
...
\(\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}>100.\dfrac{1}{10}=10\).
2 tháng 1 2018
Ta có :
\(\dfrac{1}{\sqrt{1}}>\dfrac{1}{\sqrt{`100}}=\dfrac{1}{10}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}\)
........................................
\(\dfrac{1}{\sqrt{99}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+.......+\dfrac{1}{\sqrt{100}}>\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}+........+\dfrac{1}{10}=\dfrac{100}{10}=10\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+......+\dfrac{1}{\sqrt{100}}>10\left(đpcm\right)\)
NN
2 tháng 1 2018
Giải:
Ta thấy:
\(\dfrac{1}{\sqrt{1}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}.\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}.\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}.\)
...................................
\(\dfrac{1}{\sqrt{99}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}.\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}.\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}.\)
\(>\dfrac{1}{\sqrt{100}}+\dfrac{1}{\sqrt{100}}+\dfrac{1}{\sqrt{100}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}.\)
\(=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}+...+\dfrac{1}{10}\) (100 số hạng \(\dfrac{1}{10}\)).
\(=\dfrac{100}{10}=10.\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}>10\left(đpcm\right).\)
Vậy..........
2 tháng 4 2017
Ta có:
\(\sqrt{1}< \sqrt{100}\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{1}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}\)
\(\sqrt{2}< \sqrt{100}\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}\)
\(\sqrt{3}< \sqrt{100}\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{3}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}\)
\(.............................\)
\(\sqrt{99}< \sqrt{100}\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{99}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}\)
\(\sqrt{100}=\sqrt{100}\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{\sqrt{100}}\)
Cộng từng vế của các BĐT trên ta được:
\(\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}+\dfrac{1}{\sqrt{100}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}\)
\(=\dfrac{100}{\sqrt{100}}=\dfrac{100}{10}=10\)
Vậy \(\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}>10\) (Đpcm)
GH
17 tháng 6 2023
VT tương đương với \(\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{1}-\sqrt{2}}{1-2}+\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+...+\dfrac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{99-100}\)
\(=\sqrt{100}-\sqrt{99}+\sqrt{99}-....-\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{1}\) (kiểu do mẫu số nó có kết quả âm nên đảo lại phép)
\(=10-1=9=VP\)
T
28 tháng 7 2017
\(\forall n\in N\) ta luôn có \(\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\) (*)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(n+1\right)-n=1\) (luôn đúng)
Vậy (*) được chứng minh.
Áp dụng với \(n=1;2;3;...;99\) ta có
\(S=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)
\(=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\)
\(=\sqrt{100}-1=10-1=9\)
Vậy S là 1 số nguyên.
28 tháng 7 2017
\(S=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\\ S=\dfrac{1-\sqrt{2}}{1-2}+\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+...+\dfrac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{99-100}\\ S=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\\ S=-1+\sqrt{100}=9\)
5 tháng 5 2018
Ta có:
1/ căn 1> 1/10
1/ căn 2> 1/10
...
1/ căn 99> 1/10
1/ căn 100 = 1/10
=> 1/ căn 1 + 1/ căn 2 + ... + 1/ căn 99 + 1/ căn 100 > 100 . 1/10 = 10 (đpcm)
6 tháng 5 2018
1/√1 > 1/10
1/√2 > 1/10
1/√3 > 1/10
....................
1/√99 > 1/10
1/√100 = 1/10
Cộng từng vế ta có:
1/√1 + 1/√2 + 1/√3 + ... + 1/√100 >100.1/0 = 10 (Đpcm)
Ta có:
\(\dfrac{1}{\sqrt{1}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}\)
\(...............\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{98}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{99}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}\)
Cộng theo vế ta có:
\(\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}}>\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}+...+\dfrac{1}{10}=\dfrac{99}{10}\)
Lại có \(\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}\) suy ra:
\(\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}>\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}+...+\dfrac{1}{10}=\dfrac{100}{10}=10\)
Ta có:
1/√1>1/√100=1/10
1/√2>1/√100=1/10
........
1/√100=1/√100=1/10
Nên:
1/√1+1/√2+...+1/√100>1/10+1/10+...+1/10(100 phân số 1/10)
=1/√1+1/√2+..+1/√100>100/10
1/√1+1/√2+..+1/√100>10(đpcm)