Question

[Vy thị thanh thuy]

cho a,b là các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện a+1/b+b+1/a là số tự nhiên.chứng minh a+b>=

d^2 biết d là ước chung lớn nhất của a,b

Answer 1

[soyeon_Tiểubàng giải]

Có: a + \(\frac{1}{b}\) + b + \(\frac{1}{a}\) = a + b + \(\frac{a+b}{ab}\)

Để biểu thức trên là số tự nhiên thì \(\frac{a+b}{ab}\) cũng là số tự nhiên

=> \(\left\{\begin{matrix}a+b⋮a\\a+b⋮b\end{matrix}\right.\)<=>\(\left\{\begin{matrix}b⋮a\\a⋮b\end{matrix}\right.\)<=>\(\left\{\begin{matrix}a\inƯ\left(b\right)\\a\in B\left(b\right)\end{matrix}\right.\)

<=> a = b

=> ƯCLN(a;b)=a=b=d

Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{a}=\frac{2}{a}\) là số tự nhiên

\(\Leftrightarrow2⋮a\Rightarrow a\le2\)

<=> 2a \(\ge\)a²

<=> a + b \(\ge\) d² (đpcm)