cho x,y,z>0 thỏa mãn \(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}=1\).Tìm GTNN của
P=\(\left(a^3+\dfrac{1}{b^3}\right)\left(b^3+\dfrac{1}{a^3}\right)\)
MN giúp e với ạ
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 8 2021
\(A=a^3b^3+\dfrac{1}{a^3b^3}+2=a^3b^3+\dfrac{1}{2^{12}.a^3b^3}+\dfrac{2^{12}-1}{2^{12}a^3b^3}+2\)
\(A\ge2\sqrt{\dfrac{a^3b^3}{2^{12}.a^3b^3}}+\dfrac{2^{12}-1}{2^{12}.\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^6}+2=\dfrac{2}{2^6}+\dfrac{2^{12}-1}{2^6}+2=\dfrac{2^{12}+1}{2^6}+2\) (casio)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
14 tháng 1 2021
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:
\(P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}}\).
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
\(xy+1=xy+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{xy}{4^4}}\).
Tương tự: \(yz+1\ge5\sqrt[5]{\dfrac{yz}{4^4}};zx+1\ge5\sqrt[5]{\dfrac{zx}{4^4}}\).
Do đó \(\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)\ge125\sqrt[5]{\dfrac{\left(xyz\right)^2}{4^{12}}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}\ge125\sqrt[5]{\dfrac{1}{4^{12}\left(xyz\right)^3}}\).
Mà \(xyz\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^3}{27}=\dfrac{1}{8}\)
Nên \(\dfrac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}\ge125\sqrt[5]{\dfrac{8^3}{4^{12}}}=125\sqrt[5]{\dfrac{1}{2^{15}}}=\dfrac{125}{8}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}\).
Vậy...
HN
17 tháng 1 2021
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:
P≥33√(xy+1)(yz+1)(zx+1)xyz.
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
xy+1=xy+14+14+14+14≥55√xy44.
Tương tự: yz+1≥55√yz44;zx+1≥55√zx44.
Do đó (xy+1)(yz+1)(zx+1)≥1255√(xyz)2412
⇒(xy+1)(yz+1)(zx+1)xyz≥1255√1412(xyz)3.
Mà xyz≤(x+y+z)327=18
Nên (xy+1)(yz+1)(zx+1)xyz≥1255√83412=1255√1215=1258
⇒P≥152.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 3 2021
Thay $x=\sqrt{\frac{1}{2,5}}; y=z=\sqrt{\frac{1}{0,25}}$ ta thấy đề sai bạn nhé!
DN
24 tháng 5 2018
Ta có BĐT:
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
\(\Leftrightarrow6\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\right)+2016\le6\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)+2016\)
\(\Leftrightarrow7.\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\le6\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)+2016\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\le2016\)
Xét \(P=\frac{1}{\sqrt{3\left(2x^2+y^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2y^2+z^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2z^2+x^2\right)}}\)
\(P^2=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{1}{\sqrt{2x^2+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{1}{\sqrt{2y^2+z^2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{1}{\sqrt{2z^2+x^2}}\right)^2\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(P^2\le\left(\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2\right)\left(\left(\frac{1}{\sqrt{2x^2+y^2}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2y^2+z^2}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2z^2+x^2}}\right)^2\right)\)
\(\Leftrightarrow P^2\le\frac{1}{2x^2+y^2}+\frac{1}{2y^2+z^2}+\frac{1}{2z^2+x^2}\)
Mặt khác ta có:
\(\frac{1}{2x^2+y^2}=\frac{1}{x^2+x^2+y^2}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\)
\(\frac{1}{2y^2+z^2}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\)
\(\frac{1}{2z^2+x^2}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}\right)\)
\(\Rightarrow P^2\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\le\frac{1}{3}.2016=672\)
\(\Rightarrow P\le4\sqrt{42}\)
Dấu '=' xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{\frac{1}{672}}\)
Sao lúc thì $x,y,z$ lúc thì $a,b$ vậy bạn? Bạn coi lại đề.