a,b,c>0
a+b+c=3
\(\dfrac{a}{b^3+ab}+\dfrac{b}{a^3+bc}+\dfrac{c}{c^3+ca}\ge\dfrac{3}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
21 tháng 9 2021
Áp dụng BĐT AG-GM:
\(\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge\dfrac{a^3}{a^2+\dfrac{a^2+b^2}{2}+b^2}=\dfrac{a^3}{\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)}\)
Cmtt \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}\ge\dfrac{b^3}{\dfrac{3}{2}\left(b^2+c^2\right)}\\\dfrac{c^3}{c^2+ac+a^2}\ge\dfrac{c^3}{\dfrac{3}{2}\left(c^2+a^2\right)}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế theo vế của bất đẳng thức:
\(\Leftrightarrow VT\ge\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\right)\)
Tiếp tục áp dụng BĐT AG-GM:
\(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}=\dfrac{a\left(a^2+b^2\right)-ab^2}{a^2+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\dfrac{ab^2}{2ab}=a-\dfrac{b}{2}\)
Cmtt\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\dfrac{c}{2}\\\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\dfrac{a}{2}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế theo vế
\(\Leftrightarrow VT\ge\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\right)\\ \ge\dfrac{2}{3}\left(a-\dfrac{b}{2}+b-\dfrac{c}{2}+c-\dfrac{a}{2}\right)=\dfrac{2}{3}\left(a+b+c-\dfrac{a+b+c}{2}\right)=\dfrac{a+b+c}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 9 2021
\(\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}=a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^2.ab.b^2}}=a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a-b}{3}\)
Tương tự và cộng lại ta sẽ có đpcm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 1 2023
Đặt vế trái BĐT cần chứng minh là P, ta có:
\(\dfrac{ab}{a^2+b^2}+\dfrac{bc}{b^2+c^2}+\dfrac{ca}{c^2+a^2}=\dfrac{1}{c\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{1}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{1}{b\left(c^2+a^2\right)}\)
\(\ge\dfrac{9}{a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)}\ge\dfrac{9}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}\)
\(\Rightarrow P\ge a^3+b^3+c^3+\dfrac{9}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}\ge3\sqrt[3]{\left(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2}\right)^2.\dfrac{9}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}}\)
\(=3\sqrt[3]{\dfrac{9\left(a^3+b^3+c^3\right)}{8}}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{27abc}{8}}=\dfrac{9}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
HM
cho a,b,c>0 và a+b+c=3
CMR: \(\dfrac{a}{b^3+ab}+\dfrac{b}{c^3+bc}+\dfrac{c}{a^3+ca}\ge\dfrac{3}{2}\)
0
HN
14 tháng 7 2017
a/ \(\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ac+a^2}\)
\(=\dfrac{a^4}{a^3+a^2b+ab^2}+\dfrac{b^4}{b^3+b^2c+bc^2}+\dfrac{c^4}{c^3+ac^2+ca^2}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a\left(a^2+ab+b^2\right)+b\left(b^2+bc+c^2\right)+c\left(c^2+ca+a^2\right)}\)
\(=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)
HN
14 tháng 7 2017
b/ \(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ac}+\dfrac{c^3}{ab}=\dfrac{a^4}{abc}+\dfrac{b^4}{abc}+\dfrac{c^4}{abc}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3abc}=\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.3\sqrt[3]{abc}}\)
\(\ge\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)}=\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a+b+c}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 11 2017
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy_ Schwarz ta có:
\(\text{VT}=\frac{a^6}{a^3+a^2b+ab^2}+\frac{b^6}{b^3+b^2c+bc^2}+\frac{c^6}{c^3+c^2a+ca^2}\)
\(\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{a^3+a^2b+ab^2+b^3+b^2c+bc^2+c^3+c^2a+ca^2}\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)}\) (I)
Áp dụng BĐT Am-Gm ta có:
\(\left\{\begin{matrix} a^3+a^3+b^3\geq 3a^2b\\ b^3+b^3+c^3\geq 3b^2c\\ c^3+c^3+a^3\geq 3c^2a\end{matrix}\right.\Rightarrow 3(a^3+b^3+c^3)\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\geq a^2b+b^2c+c^2a\) (1)
Tương tự:
\(\left\{\begin{matrix} a^3+b^3+b^3\geq 3ab^2\\ b^3+c^3+c^3\geq 3bc^2\\ c^3+a^3+a^3\geq 3ca^2\end{matrix}\right.\Rightarrow 3(a^3+b^3+c^3)\geq 3(ab^2+bc^2+ca^2)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\geq ab^2+bc^2+ca^2(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3)\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(c+a)\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(b+c)+ac(c+a)\leq 3(a^3+b^3+c^3)\) (II)
Từ \((I);(II)\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)}\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{3(a^3+b^3+c^3)}\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq \frac{a^3+b^3+c^3}{3}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)
KK
15 tháng 7 2017
\(VT=\dfrac{a}{b\left(b^2+a\right)}+\dfrac{b}{c\left(c^2+b\right)}+\dfrac{c}{a\left(a^2+c\right)}\)
\(VT=\dfrac{a+b^2-b^2}{b\left(b^2+a\right)}+\dfrac{b+c^2-c^2}{c\left(c^2+b\right)}+\dfrac{c+a^2-a^2}{a\left(a^2+c\right)}\)
\(VT=\dfrac{1}{b}-\dfrac{b}{b^2+a}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{c}{c^2+b}+\dfrac{1}{a}-\dfrac{a}{a^2+c}\)
\(VT=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-\left(\dfrac{b}{b^2+a}+\dfrac{c}{c^2+b}+\dfrac{a}{a^2+c}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow\dfrac{b}{b^2+a}\le\dfrac{b}{2b\sqrt{a}}=\dfrac{1}{2\sqrt{a}}\)
Thiết lập tương tự và thu lại tao có
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}+\dfrac{1}{\sqrt{c}}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{1}{a}}\le\dfrac{\dfrac{1}{a}+1}{2}\)
Tương tự ta có
\(\sqrt{\dfrac{1}{b}}\le\dfrac{\dfrac{1}{b}+1}{2};\sqrt{\dfrac{1}{c}}\le\dfrac{\dfrac{1}{c}+1}{2}\)
Thu lại ta có
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+3}{2}\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+3\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)-\dfrac{3}{4}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng phân thức
\(\Rightarrow\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)-\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}.\dfrac{9}{a+b+c}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Đặt vế trái là P
Ta có:
\(\dfrac{a}{b^3+ab}=\dfrac{a}{b\left(a+b^2\right)}=\dfrac{1}{b}-\dfrac{b}{a+b^2}\ge\dfrac{1}{b}-\dfrac{b}{2\sqrt{ab^2}}=\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{2\sqrt{a}}\ge\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+1\right)\)
Tương tự và cộng lại:
\(P\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+3\right)\)
\(P\ge\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)-\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}.\dfrac{9}{a+b+c}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)