Question

[Trần Thị Quỳnh Vy]

Chứng minh rằng họ đường thẳng sau luôn tiếp xúc với một đường cong cố định \(\Delta_{\alpha}:2x.\sin\alpha+2y.\cos\alpha+4\sin\alpha+1=0\)

Answer 1

[Nguyễn Bình Nguyên]

Vì ta chưa xác định được hình dạng của đường cong cố định nên ta sử dụng phương pháp đường biên của hình lồi

Giả sử \(M\left(x_0;y_0\right)\) là điểm mà họ \(\Delta_{\alpha}\) không đi qua. Khi đó phương trình sau vô nghiệm với mọi \(\alpha\)

   \(2x_0\sin\alpha+2y_0\cos\alpha+4\sin\alpha+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x_0+4\right)\sin\alpha+2y_0\cos\alpha+1=0\) (*)

(*) vô nghiệm \(\Leftrightarrow\left(2x_0+4\right)^2+4y^2_0< 1\Leftrightarrow\left(x_0+2\right)^2+y_0^2< \frac{1}{4}\)

Xét đường tròn (C) tâm I(-2;0) và bán kính \(R=\frac{1}{2}\) , ta có :

\(d\left(I,\Delta_{\alpha}\right)=\frac{\left|-4\sin\alpha+2.0\cos\alpha+4\sin\alpha+1\right|}{\sqrt{4\sin^2\alpha+4\cos^2\alpha}}=\frac{1}{2}=R\Rightarrow\Delta_{\alpha}\) luôn tiếp với (C)