\(Cho:a,b,c\ge0.CMR:3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KB
9 tháng 9 2018
a ) CM : \(a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)
Giả sử điều cần c/m là đúng
\(\Rightarrow a^4+b^4-a^3b-b^3a\ge0\)
\(\Rightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2\ge0\\a^2+ab+b^2=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow a^4+b^4-a^3b-b^3a\ge0\)
\(\Rightarrow a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)
\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge a^4+a^3b+b^4+b^3a\)
\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
\(\left(đpcm\right)\)
KB
9 tháng 9 2018
b ) \(\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(=a^4+a^3b+a^3c+b^3a+b^4+b^3c+c^3a+c^3b+c^4\)
\(=\left(a^4+b^4+c^4\right)+\left(a^3b+b^3a\right)+\left(b^3c+c^3b\right)+\left(a^3c+c^3a\right)\)
CMTT như a ) : \(\left\{{}\begin{matrix}a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\\b^4+c^4\ge b^3c+c^3b\\a^4+c^4\ge a^3c+c^3a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge a^3b+b^3a+b^3c+c^3b+a^3c+c^3a\)
\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge a^4+b^4+c^4+a^3b+b^3a+b^3c+c^3b+a^3c+c^3a\)
\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(đpcm\right)\)
TD
0
16 tháng 4 2020
*học ngu chỉ làm được câu b. lười quá nên làm tắt*
Biến đổi thành
4(a3+b3)-(a+b)3+4(a3+b3)-(b+c)3+4(c3+a3)-(c+a)3 >=0
xét 4(a3+b3)-(a+b)3 =(a+b)[4(a2-ab+b2)-(a+b)2]
=3(a+b)(a-b)2 >=0
tương tự với \(\hept{\begin{cases}4\left(b^3+c^3\right)-\left(b+c\right)^3\\4\left(c^3+a^2\right)-\left(a+c\right)^3\end{cases}}\)
=> đpcm
đẳng thức xảy ra khi a=b=c
18 tháng 10 2018
(a+b+c)(a3+b3+c3)
=a4+a3b+a3c+ab3+b4+b3c+ac3+bc3+c4
=a4+b4+c4+(a3b+ab3)+(bc3+b3c)+(c3a+ca3)
=a4+b4+c4+ab(a2+b2)+bc(b2+c2)+ca(c2+a2)
=(a4+b4+c4)+ab(a2+b2)+bc(b2+c2)+ca(c2+a2)
P/s đến đây bạn áp đụng bđt thức bunhi a là ra
18 tháng 10 2018
(a+b+c) (a3+b3+c3)
=a4+a3b+a3c+ab3+b4+b3c+ac3+bc3+c4
=a4+b4+c4+(a3b+ab3)+(bc3+b3c)+(c3a+ca3)
=a4+b4+c4+ab(a2+b2)+bc(b2+c2)+ca(c2+a2)
=(a4+b4+c4)+ab(a2+b2)+bc(b2+c2)+ca(c2+a2)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 3 2020
Sử dụng BĐT: \(\left(x+y+z\right)^3\ge27xyz\Rightarrow\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3\ge xyz\)
\(\Rightarrow\left(\frac{1+a+1+b+1+c}{3}\right)^3\ge\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\)
Ta có: \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
\(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
Cộng vế với vế:
\(1\ge\frac{1+\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\Rightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)
Dấu "=" 3 BĐT trên xảy ra khi \(a=b=c\)
Lại có:
\(1+\sqrt[3]{abc}\ge2\sqrt{\sqrt[3]{abc}}\Rightarrow\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\ge\left(2\sqrt{\sqrt[3]{abc}}\right)^3=8\sqrt{abc}\)Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
28 tháng 9 2018
Ta có: \(\frac{1}{2abc}+\frac{4}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{4}{4abc\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2abc}+\frac{4}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{1}{2}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(ab+bc\right)\left(bc+ca\right)\left(ca+ab\right)}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2abc}+\frac{4}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{1}{2}\ge\frac{3}{\frac{\left(ab+bc\right)+\left(bc+ca\right)+\left(ca+ab\right)}{3}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2abc}+\frac{4}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{9}{2\left(ab+ac+bc\right)}-\frac{1}{2}=1\)
Ta lại có: \(3=ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow\frac{1}{abc}\ge1\Rightarrow\frac{1}{2abc}\ge\frac{1}{2}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
KN
22 tháng 1 2020
Đặt BĐT cần c/m là A
Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm:
\(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}.\frac{a+b}{8}.\frac{a+c}{8}}=\frac{3a}{4}\)
\(\frac{b^3}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+a}{8}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{b^3}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}.\frac{b+c}{8}.\frac{b+a}{8}}=\frac{3b}{4}\)
\(\frac{c^3}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}+\frac{c+a}{8}+\frac{c+b}{8}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{c^3}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}.\frac{c+a}{8}.\frac{c+b}{8}}=\frac{3c}{4}\)
Cộng từng vế của các BĐT trên, ta được:
\(A+\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{4}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{3}{4}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c\))
T
11 tháng 11 2019
2/ Không mất tính tổng quát, giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\).
Nếu abc = 0 thì có ít nhất một số bằng 0. Giả sử c = 0. BĐT quy về: \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = b; c = 0.
Nếu \(abc\ne0\). Chia hai vế của BĐT cho \(\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\)
BĐT quy về: \(\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^4}{b^2c^2}}+3\ge2\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{ab}{c^2}}\)
Đặt \(\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=x;\sqrt[3]{\frac{b^2}{ca}}=y;\sqrt[3]{\frac{c^2}{ab}}=z\Rightarrow xyz=1\)
Cần chúng minh: \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1\ge2\left(xy+yz+zx\right)\) (1)
Theo nguyên lí Dirichlet thì trong 3 số x - 1, y - 1, z - 1 tồn tại ít nhất 2 số có tích không âm. Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow2xyz\ge2xz+2yz-2z\). Thay vào (1):
\(VT\ge x^2+y^2+z^2+2xz+2yz-2z+1\)
\(=\left(x-y\right)^2+\left(z-1\right)^2+2xy+2xz+2yz\)
\(\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
Vậy (1) đúng. BĐT đã được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c hoặc a = b, c = 0 và các hoán vị.
Check giúp em vs @Nguyễn Việt Lâm, bài dài quá:(
T
6 tháng 7 2020
Để đưa về chứng minh $(1)$ và $(2)$ ta dùng:
Định lí SOS: Nếu \(X+Y+Z=0\) thì \(AX^2+BY^2+CZ^2\ge0\)
khi \(\left\{{}\begin{matrix}A+B+C\ge0\\AB+BC+CA\ge0\end{matrix}\right.\)
Chứng minh: Vì \(\sum\left(A+C\right)=2\left(A+B+C\right)\ge0\)
Nên ta có thể giả sử \(A+C\ge0\). Mà $X+Y+Z=0$ nên$:$
\(AX^2+BY^2+CZ^2=AX^2+BY^2+C\left[-\left(X+Y\right)\right]^2\)
\(={\frac { \left( AX+CX+CY \right) ^{2}}{A+C}}+{\frac {{Y}^{2} \left( AB+AC+BC \right) }{A+C}} \geq 0\)
BĐT tương đương với :
\(3a^4+3b^4+3c^4-\left(a^4+a^3b+a^3c+b^4+ab^3+b^3c+ac^3+bc^3+c^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4+b^4-a^3b-ab^3\right)+\left(b^4+c^4-b^3c-bc^3\right)+\left(a^4+c^4-a^3c-ac^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)+\left(b-c\right)^2\left(b^2+bc+c^2\right)+\left(a-c\right)^2\left(a^2+ac+c^2\right)\ge0\)
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(3a^4+3b^4+3c^4\ge a^4+b^4+c^4+ab^3+bc^3+ca^3+a^3b+b^3c+c^3a\)
\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4+2c^4-ab^3-bc^3-ca^3-a^3b-b^3c-c^3a\ge0\)
Theo AM - GM ta dễ có:
\(a^4+a^4+a^4+b^4\ge4\sqrt[4]{a^{12}b^4}=4a^3b\)
\(b^4+b^4+b^4+c^4\ge4\sqrt[4]{b^{12}c^4}=4b^3c\)
\(c^4+c^4+c^4+a^4\ge4\sqrt[4]{c^{12}a^4}=4c^3a\)
Cộng vế theo vế ta có đpcm