Cho tam giác ABC có BE, CF là hai đường cao cắt nhau tại H. O là giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác. M là trung điểm của BC. Chứng minh AH=2.OM
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 12 2023
Ta có: ΔEAH vuông tại E
mà EI là đường trung tuyến
nên IE=IH
=>ΔIEH cân tại I
=>\(\widehat{IHE}=\widehat{IEH}\)
mà \(\widehat{IHE}=\widehat{BHD}\)(hai góc đối đỉnh)
và \(\widehat{BHD}=\widehat{BCE}\left(=90^0-\widehat{EBC}\right)\)
nên \(\widehat{IEH}=\widehat{BCE}\)
Ta có: ΔEBC vuông tại E
mà EO là đường trung tuyến
nên OE=OB
=>ΔOEB cân tại O
=>\(\widehat{OEB}=\widehat{OBE}\)
Ta có: \(\widehat{IEO}=\widehat{IEH}+\widehat{OEH}\)
\(=\widehat{EBC}+\widehat{ECB}=90^0\)
=>ΔIEO vuông tại E
Ta có: ΔAFH vuông tại F
mà FI là đường trung tuyến
nên FI=IH
=>FI=IE
=>I nằm trên đường trung trực của FE(1)
Ta có: ΔBFC vuông tại F
mà FO là đường trung tuyến
nên \(FO=\dfrac{BC}{2}\)
mà EO=BC/2
nên FO=EO
=>O nằm trên đường trung trực của EF(2)
Từ (1) và (2) suy ra IO là đường trung trực của EF
=>IO\(\perp\)EF tại K và K là trung điểm của FE
Xét ΔIEO vuông tại E có EK là đường cao
nên \(IK\cdot IO=IE^2\)
=>\(IK\cdot IO=\left(\dfrac{1}{2}AH\right)^2=\dfrac{1}{4}AH^2\)
=>\(AH^2=4\cdot IK\cdot IO\)
9 tháng 8 2023
Gọi O là trung điểm của BC
góc AFH+góc AEH=180 độ
=>AFHE nội tiếp đường tròn đường kính AH
=>AFHE nội tiếp (M)
góc BFC=góc BEC=90 độ
=>BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC
=>BFEC nội tiếp (O)
góc MFO=góc MFH+góc OFH
=góc MHF+góc OCF
=góc FBC+góc FCB=90 độ
=>MF là tiếp tuyến của (O)
Xét ΔMFO và ΔMEO có
MF=ME
OF=OE
MO chung
=>ΔMFO=ΔMEO
=>góc MEO=90 độ
=>ME là tiếp tuyến của (O)
9 tháng 8 2023
Bạn cần phải chứng minh E, F ϵ ( O ) nữa nhé, vì vẫn có thể xảy ra trường hợp ME, MF là cát tuyến hoặc nằm ngoài ( O ). Phần này thì dùng đường trung tuyến trong tam giác vuông là xong.
MP
31 tháng 5 2023
Ta cần chứng minh H là trực tâm của tam giác ASM. Với mục đích này, ta sẽ sử dụng tính chất của hình chữ nhật.
Vì M là trung điểm BC, ta có BM = MC. Do đó, SM là đường trung trực của BC.
Vì EF ⊥ BE và CF, nên EF song song với đường BC (vì BE // CF). Do đó, S nằm trên đường trung trực của BC.
Vì H là giao điểm của AD và BE, ta có AH ⊥ BC và BH ⊥ AC. Do đó, AH // SM và BH // SM.
Khi đó, ta suy ra được rằng tứ giác ABSH là hình chữ nhật (do có 2 cặp cạnh đối nhau là song song và bằng nhau).
Do AS là đường chéo của hình chữ nhật ABSH, nên H là trực tâm của tam giác ASM.
Vậy, H là trực tâm của tam giác ASM.
10 tháng 5 2023
a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F co
góc A chung
=>ΔAEB đồng dạng với ΔAFC
b: ΔAEB đồng dạng với ΔAFC
=>AE/AF=AB/AC
=>AE*AC=AB*AF
NY
24 tháng 8 2020
Có AD \(\perp\)BC nên ta có \(\widehat{ACD}=90-\widehat{DAC}\)
cmtt có \(\widehat{AHE}=90-\widehat{DAC}\)
\(\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{AHE}\)
mà \(\widehat{AFE}=\widehat{AHE}\)
\(\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{ACD}\)
Xét \(\Delta\) AFE và \(\Delta\) ABC có
\(\widehat{AFE}=\widehat{ACD}\left(cmt\right)\)
\(\widehat{BAC}chung\)
\(\Rightarrow\Delta AFE\infty\Delta ABC\left(g-g\right)\)
#cỪu
