Cho (O) đk AB. C e OB và H là trđ AC. Qua H kẻ dây DE vuông góc với AC. BD cắt đg tròn đk BC tại D.
a) C/m DHCK nt
b) C/m E,C,K thẳng hàng
c) Qua K kẻ đg vuông góc DE cắt (O) tại M,N. M e cung DE nhỏ. C/m EM^2 + DN^2 = 4R^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
28 tháng 5 2021
a) Ta có A, E, F, K, H cùng thuộc đường tròn đường kính AH.
b) Ta có \(\widehat{AMN}=90^o-\widehat{OAB}=90^o-\dfrac{180^o-\widehat{AOB}}{2}=\dfrac{\widehat{AOB}}{2}=\widehat{ACB}\).
Suy ra tứ giác BMNC nội tiếp và \(\Delta SMB\sim\Delta SCN\left(g.g\right)\) nên \(SM.SN=SB.SC\).
c) Ta có \(\widehat{QCB}=\widehat{QAB}=\widehat{HCB};\widehat{QBC}=\widehat{HBC}\) nên Q, H đối xứng với nhau qua BC.
Mà S thuộc BC nên SH = SQ.
Ta lại có \(\widehat{SHB}=\widehat{BHF}-\widehat{MHF}=\widehat{BAC}-\left(90^o-\widehat{AMH}\right)=\widehat{BAC}+\widehat{ACB}-90^o=90^o-\widehat{ABC}=\widehat{SCH}\Rightarrow\Delta SHB\sim\Delta SCH\left(g.g\right)\Rightarrow SQ^2=SH^2=SB.SC\).
d) I là điểm nào vậy bạn?
20 tháng 1
a: Xét tứ giác AHCK có \(\widehat{AHC}+\widehat{AKC}=90^0+90^0=180^0\)
nên AHCK là tứ giác nội tiếp
b: ta có: AHCK là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{CHK}=\widehat{CAK}=\widehat{CAE}\left(1\right)\)
Xét (O) có
\(\widehat{CAE}\) là góc nội tiếp chắn cung CE
\(\widehat{CDE}\) là góc nội tiếp chắn cung CE
Do đó: \(\widehat{CAE}=\widehat{CDE}\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(\widehat{CHK}=\widehat{CDE}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị
nên HK//DE
29 tháng 2 2020
a, tam giác ABC cân tại A (gt)
=> góc ABC = góc ACB (đl)
góc ACB = góc ECN (đối đỉnh)
=> góc ABC = góc ECN
xét tam giác BDM và tam giác ECN có : BD = CE (gt)
góc MDB = góc CEN = 90
=> tam giác BDM = tam giác ECN (cgv-gnk)
=> DM = EN (đn)
b, MD _|_ BC (gt)
NE _|_ BC (gT)
=> MD // EN (Đl)
=> góc DMI = góc INE (slt)
xét tam giác DMI và tam giác ENI có : góc MDI = góc NEI = 90
MD = EN (Câu a)
=> tam giác DMI = tam giác ENI (cgv-gnk)
=> DI = IE (đn) mà I nằm giữa D và E
=> I là trđ của DE (đn)
c, xét tam giác ABO và tam giác ACO có : AO chung
AB = AC do tam giác ABC cân tại A (gT)
góc ABO = góc ACO = 90
=> tam giác ABO = tam giác ACO (ch-cgv)
=> BO = CO (đn)
=> O thuộc đường trung trực của BC (đl)
AB = AC (cmt) => A thuộc đường trung trực của BC (Đl)
=> AO là trung trực của BC
29 tháng 2 2020
Hình tự vẽ nha.
a, Xét \(\Delta MBD\)và \(\Delta NEC\)có:
\(CE=BD\left(gt\right)\)
\(\widehat{NEC}=\widehat{MDB}=90^0\)
\(\widehat{MBD}=\widehat{NCE}\left(=\widehat{ACD}\right)\)
\(\Rightarrow\Delta MBD=\Delta NEC\left(cgv-gnk\right)\)
\(\Rightarrow MD=EN\left(2c.t.ứ\right)\)
b, Xét \(\Delta MID\)và \(\Delta NIE\) có:
\(\widehat{MDI}=\widehat{NEI}=90^0\)
\(EN=MD\left(cmt\right)\)
\(\widehat{MID}=\widehat{NIE}\left(đ.đ\right)\)
\(\Rightarrow\Delta MID=\Delta NIE\left(cgv-gn\right)\)
\(\Rightarrow ID=IE\left(2.c.t.ứ\right)\)
\(\Rightarrow I\) là giao điểm của \(DE\)
c, Xét \(\Delta ABO\) và \(\Delta ACO\) có:
\(AB=AC\)
\(\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^0\)
\(AO\) là cạnh chung
\(\Rightarrow\text{}\)\(\Delta ABO=\Delta ACO\left(ch-cgv\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\left(2g.t.ứ\right)\)
\(\Rightarrow AO\)là đường phân giác trong \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)
\(\Rightarrow AO\) là đường trung trực của \(BC\)
KS
9 tháng 3 2020
Gọi I là tâm đường tròn đường kính CB
a) Xét (O) có: \(\widehat{ADB}\) \(=90^0\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow AD\perp DB\)
Xét (I) có: \(\widehat{CKB}\) \(=90^0\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow CK\perp KB\) hay \(CK\perp DB\)
Ta có: \(\widehat{DKC}+\widehat{CKB}\) \(=180^0\) (hai góc kề bù)
\(\Leftrightarrow\) \(\widehat{DKC}\) \(=180^0-\) \(\widehat{CKB}\) \(=180^0-90^0=90^0\)
Vì \(\widehat{ADB}+\widehat{DKC}\) \(=90^0+90^0=180^0\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác DKCH nội tiếp đường tròn (theo dhnb tứ giác nội tiếp)
b) Vì H là trung điểm AC
\(\Rightarrow AH=HC\)
Xét (O) có: \(\left\{{}\begin{matrix}AB=2R\\DE\perp AB=\left\{H\right\}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow DH=HE\) (liên hệ giữa đường kính và dây)
Xét tứ giác ADCE có: \(\left\{{}\begin{matrix}DH=HE\\AH=HC\\DE\cap AC=\left\{H\right\}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác ADCE là hình bình hành (theo dhnb hình bình hành)
(mà \(DE\perp AC=\left\{H\right\}\))
\(\Rightarrow\) Hình bình hành ADCE là hình thoi (theo dhnb hình thoi)
\(\Rightarrow\) AD//EC (1)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}AD\perp DB\\CK\perp DB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) AD//CK (từ vuông góc đến song song) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) AD//EC//CK
\(\Rightarrow\) E,C,K thẳng hàng.
c) Vì \(DE\perp AC=\left\{H\right\}\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{DHA}\) \(=90^0\)
Vì AD//EC \(\Rightarrow\) \(\widehat{ACE}=\widehat{DAC}\) hay \(\widehat{DAH}=\widehat{HCE}\)
(mà \(\widehat{HCE}=\widehat{KCB}\) vì hai góc đối đỉnh)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{DAH}=\widehat{KCB}\)
Xét ΔADH∼ΔCBK vì:
\(\widehat{DHA}=\widehat{CKB}\) \(=90^0\)
\(\widehat{DAH}=\widehat{KCB}\) (cmtrn)
\(\Rightarrow\frac{AD}{CB}=\frac{AH}{CK}\Leftrightarrow AD\cdot CK=AH\cdot CB\) (mà \(AH=HC\))
\(\Leftrightarrow AD\cdot CK=HC\cdot CB\) (đpcm)
a) ý bạn chắc là BD cắt đường tròn đk BC tại K nhỉ.chứ ko có điểm K
Vì BC là đường kính \(\Rightarrow\angle CKB=90\)
\(\Rightarrow\angle DHC+\angle DKC=90+90=180\Rightarrow DHCK\) nội tiếp
b) Dễ dàng chứng minh được H là trung điểm DE
\(\Rightarrow\) DE và AC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
\(\Rightarrow ADCE\) là hình bình hành có \(DE\bot AC\Rightarrow ADCE\) là hình thoi
\(\Rightarrow CE\parallel DA\) mà \(DA\bot DB\left(\angle ADB=90\right)\Rightarrow CE\bot DB\)
mà \(CK\bot DB\left(\angle CKB=90\right)\Rightarrow C,E,K\) thẳng hàng
c) MN cắt DE tại G.Kẻ tiếp tuyến MM' của (O)
Ta có: \(EM^2+DN^2=GM^2+GE^2+GD^2+GN^2\)
\(=\left(GM^2+GD^2\right)+\left(GE^2+GN^2\right)=MD^2+EN^2\left(1\right)\)
Vì MM' là đường kính \(\Rightarrow\angle MNM'=90\Rightarrow M'N\bot MN\)
mà \(MN\bot DE\) \(\Rightarrow M'N\parallel DE\) \(\Rightarrow DNM'E\) là hình thang
mà \(DNM'E\) nội tiếp \(\Rightarrow DNM'E\) là hình thang cân
\(\Rightarrow EN=M'D\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow EM^2+DN^2=DM^2+DM'^2=MM'^2=4R^2\)