Cho M=\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\) với a;b;c >0
a)CM: M>1
b)CM: M ko là số nguyên
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
24 tháng 10 2020
Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta được:
\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a=b+c\\2b=c+a\\2c=a+b\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3a=a+b+c\\3b=a+b+c\\3c=a+b+c\end{cases}}\Rightarrow a=b=c\)
Thay vào ta được:
\(Q=\frac{a+2b}{c}+\frac{b+2c}{a}+\frac{c+2a}{b}=\frac{3c}{c}+\frac{3a}{a}+\frac{3b}{b}=9\)
\(M=\frac{a+5b}{c}+\frac{b+5c}{a}+\frac{c+5a}{b}=\frac{6c}{c}+\frac{6a}{a}+\frac{6b}{b}=18\)
S
29 tháng 5 2017
Ta có: \(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{c+a}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)(1)
Lại có: \(\frac{a}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{c+a}< \frac{b+c}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}< \frac{c+a}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M< \frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}+\frac{c+a}{a+b+c}=\frac{a+b+b+c+c+a}{a+b+c}=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)(2)
Từ (1);(2) => 1 < M < 2 => đpcm
8 tháng 10 2019
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{a}=\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{a}=1\)
\(\Rightarrow a=b=c=d\)
Khí đó:
\(M=\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{d+a}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}\)
\(M=\frac{a+a}{a+a}+\frac{a+a}{a+a}+\frac{a+a}{a+a}+\frac{a+a}{a+a}=4\)
Vậy M = 4
27 tháng 10 2019
Áp dụng TC của dãy tỉ số bằng nhau , ta có :
\(\frac{2019a+b+c+d}{a}=\frac{a+2019b+c+d}{b}=\frac{a+b+2019c+d}{c}=\frac{a+b+c+2019d}{d}\)
\(=\frac{\left(2019a+a+a+a\right)+\left(2019b+b+b+b\right)+\left(2019c+c+c+c\right)+\left(2019d+d+d+d\right)}{a+b+c+d}\)
\(=\frac{2022\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2022\)
Xét a + b + c + d =0
=> ( a + b ) = - ( c + d ) ; ( b + c ) = - ( a + d ) ; ( c + d ) = - ( a + b ) ; (a + d ) = - ( b + c )
\(\Rightarrow M=\frac{-\left(c+d\right)}{c+d}+\frac{-\left(a+d\right)}{d+a}+\frac{-\left(a+b\right)}{b+a}+\frac{-\left(a+d\right)}{b+c}\)
\(M=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)=-4\)
Xét a + b + c + d khác 0
=> a = b = c = d
=> M = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
Vậy .....................
NT
cho M = \(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+d}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d}\) với a, b, c, d \(\in\)N*
2
TN
28 tháng 7 2016
Do a;b;c và d là các số nguyên dương =>
a + b + c < a + b + c + d
a + b + d < a + b + c + d
a + c + d < a + b + c + d
b + c + d < a + b + c + d
=> a/(a + b + c) > a/(a + b + c + d) (1)
b/(a + b + d) > b/(a + b + c + d) (2)
c/(b + c + d) > c/(a + b + c + d) (3)
d/(a + c + d) > d/(a + b + c + d) (4)
Từ (1);(2);(3) và (4)
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > a/(a + b + c + d) + b/(a + b + c + d) + c/(a + b + c + d) + d/(a + b + c + d)
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > (a + b + c + d)/(a + b + c + d)
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > 1
=> M > 1 (*)
Ta có: (a + b + c)(a + d) - a(a + b + c + d)
= a² + ad + ab + bd + ac + cd - (a² + ab + ac + ad)
= a² + ad + ab + bd + ac + cd - a² - ab - ac - ad
= bd + cd
Do a;b;c và d là số nguyên dương
=> bd + cd > 0
=> (a + b + c)(a + d) - a(a + b + c + d) > 0
=> (a + b + c)(a + d) > a(a + b + c + d)
=> (a + d)/(a + b + c + d) > a/(a + b + c) (5)
Chứng minh tương tự ta được:
(b + c)/(a + b + c + d) > b/(a + b + d) (6)
(a + c)/(a + b + c + d) > c/(b + c + d) (7)
(b + d)/(a + b + c + d) > d/(a + c + d) (8)
Cộng vế với vế của (5);(6);(7) và (8) ta được:
(a + d)/(a + b + c + d) + (b + c)/(a + b + c + d) + (a + c)/(a + b + c + d) + (b + d)/(a + b + c + d) > a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d)
=> (a + d + b + c + a + c + b + d)/(a + b + c + d) > M
=> 2(a + b + c + d)/(a + b + c + d) > M
=> 2 > M (*)(*)
Từ (*) và (*)(*)
=> 1 < M< 2
=> M không phải là số nguyên
5 tháng 2 2020
Ta có: \(a,b,c,d\in N^{\times}\)nên:
\(\Rightarrow a+b+c< a+b+c+d\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)
Tương tự ta có: \(\frac{b}{a+b+d}>\frac{b}{a+b+c+d}\)
Và: \(\frac{c}{a+c+d}>\frac{c}{a+b+c+d}\)
Và: \(\frac{d}{b+c+d}>\frac{d}{a+b+c+d}\)
\(\Rightarrow M>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)
Lại có: \(a,b,c,d\in N^{\times}\) nên:
\(\Rightarrow a+b+c>a+b\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}\)
Tương tự ta có: \(\frac{b}{a+b+d}< \frac{b}{a+b}\)
Và: \(\frac{c}{a+c+d}< \frac{c}{c+d}\)
Và: \(\frac{d}{b+c+d}< \frac{d}{c+d}\)
\(\Rightarrow M< \frac{a+b}{a+b}+\frac{c+d}{c+d}=2\)
Vậy \(1< M< 2\) nên \(M\) không phải số tự nhiên.
a, Ta có: \(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\left(1\right)\)
b, Ta có: \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+b}{a+b+c};\frac{b}{b+c}< \frac{b+c}{a+b+c};\frac{c}{c+a}< \frac{c+a}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M< \frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}+\frac{c+a}{a+b+c}=\frac{a+b+b+c+c+a}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => 1<M<2 hay M không phải là số nguyên
Bạn tham khảo nhé
\(b)\) Ta có :
\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\)\(M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
\(\Rightarrow\)\(M>1\)\(\left(1\right)\)
Lại có :
\(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{c+a}< \frac{b+c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\)\(M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
\(\Rightarrow\)\(M< 2\)\(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra : \(1< M< 2\)
Vậy M không phải là số nguyên