Cho \(c^2+2ab-2bc-2ca=0\) \(b\ne c;a+b\ne c\)
\(Cmr:\frac{a^2+\left(a-c\right)^2}{b^2+\left(b-c\right)^2}=\frac{a-c}{b-c}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 4 2022
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)
-Ta có hằng đẳng thức: \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
\(P=\dfrac{2bc}{a^2}+\dfrac{2ca}{b^2}+\dfrac{2ab}{c^2}+2bc+2ca+2ab\)
\(=\dfrac{2bc}{a^2}+\dfrac{2ca}{b^2}+\dfrac{2ab}{c^2}=\dfrac{2\left(b^3c^3+c^3a^3+a^3b^3\right)}{a^2b^2c^2}=\dfrac{2.\left(ab+bc+ca\right)\left(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2-ab^2c-abc^2-a^2bc\right)}{a^2b^2c^2}=\dfrac{2.0.\left(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2-ab^2c-abc^2-a^2bc\right)}{a^2b^2c^2}=0\)
17 tháng 4 2022
-C/m hằng đẳng thức trên:
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz=\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)\left(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2-3xy\right)=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xz-yz-xy\right)\left(đpcm\right)\)
NM
0
LV
1
KN
6 tháng 12 2019
Đặt \(m=a^2+bc\);\(n=b^2+2ca\);\(p=c^2+2ab\)
Lúc đó: \(m+n+p=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)^2< 1\)(vì a + b + c < 1 )
\(BĐT\Leftrightarrow\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}\ge9\)và m + n + p < 1 ; m,n,p > 0
Áp dụng BĐT Cô -si cho 3 số không âm:
\(m+n+p\ge3\sqrt[3]{mnp}\)
và \(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{mnp}}\)
\(\Rightarrow\left(m+n+p\right)\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}\right)\ge9\)
Mà m + n + p < 1 nên \(\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}\right)\ge9\)
hay \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge9\)
VT
0
theo bài ra ta có: \(c^2+2ab-2bc-2ca=0.\)
\(\Rightarrow2\left(c^2+ab-bc-ca\right)=c^2\)
\(\Rightarrow2\left(a-c\right)\left(b-c\right)=c^2\)
Mặt khác: \(\frac{a^2+\left(a-c\right)^2}{b^2+\left(b-c\right)^2}=\frac{2a^2-2ac+c^2}{2b^2-2bc+c^2}=\frac{2a\left(a-c\right)+2\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{2b\left(b-c\right)+2\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)
\(=\frac{\left(a-c\right)\left(a+b-c\right)}{\left(b-c\right)\left(b+a-c\right)}=\frac{a-c}{b-c}\) => đpcm